发布时间 : 星期六 文章全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广更新完毕开始阅读
例3 飞机坠落在甲、乙、丙3个区域之一,营救部门判断其概率分别为P1,P2,P3用直升机搜索这些地域,若有残骸,发现的概率分别为?1,?2,?3,若已用直升机搜索过甲区域,在这种情况下,试计算飞机落入甲、乙、丙3个区域的概率. 解 以AA,A分别记飞机落入甲、乙、丙3个区域,依题意得
P(A1)?p1 P(A2)?p23P(A3)?p3P(A3)?p3?P(A1)P(A3|C)i?1p1(1??1)p1(1??1)?p2?p3?p2?p3P(A3C)P(C)
再以C记用直升机搜索过甲区域未发现残骸，则
3 P(C)=
?P(A)P(C|A)=p(1??ii11)?p2?p3，
i?1从而所求概率为
P(A1|C)=
P(A1C)P(C)P(A2C)P(C)P(A3C)P(C)=
p1(1??1)p1(1??1)?p2?p3p2p1(1??1)?p2?p3p3p1(1??1)?p2?p3，
P(A2|C)=
=
P(A3|C)=
=
分析 得到部分信息后对先验概率重做评估是贝叶斯公式的典型应用
例4 甲袋中有5只白球，5只黑球，乙袋和丙袋为空袋，现从甲袋中任取5球
放入乙袋. (1) (2)
最后取出的是白球的概率
如果最后取出的是白球,那么从一开始从甲袋中取出的都是白球的概率.
解 设Ai=﹛从甲袋取出的5只球中有i只白球﹜﹛i=0,1,2,3,4,5﹜,
Bj=﹛从乙袋中取出3只球中有j只白球﹜﹛j=0,1,2,3﹜, C=﹛最后从丙袋中取出1球为白球﹜, (1) P(A0)=
C5C5510=
1252,
P(A1)=
C5C5C51041=
25252, P(A2)=
C5C5C51032=
100252
5
P(A3)=
C5C5C51023=
100252, P(A4)=
C5C5C51014=
25252, P(A5)=
C5C0510=
1252
A0,A1,A2,A3,A4,A5构成?5的一个分割,故
125C433P(B0)=?i?05100C3P(Ai)P(B0?Ai)=.1?.4?.3252252C5252C525252.C4C1C532121+0+0+0=
2212521,
105252P(B1)=?P(Ai)P(B1?Ai)=0?i?0100C3C2100C2C3?.?.33252C5252C52121+0+0=
21 ,
5P(B2)??i?05100C2C3100C3C225C4C1105P(Ai)P(B2?Ai)?0?0?.?.?.?0?333252C5252C5252C5252100C3100C3C225C4121P(Ai)P(B3?Ai)?0?0?0?.3?.?.?.1?33252C5252C5252C52522523,
3213P(B3)??i?0从而P(C)?(3)
?j?0P(Bj)P(C?Bj)?1252.0?10511052211.?.?.1?252325232522
如A5发生,则B3一定发生,从而C一定发生,所以
P(A5)P(C?A5)P(C)?1126P(C?A5)=1, P(A5?C)?
2.推广全概率公式和推广贝叶斯公式的矩阵表示
2.1.推广全概率公式的矩阵表示 2.1.1全概率公式的推广
在第一章对全概率公式的条件和结论作如下改动,就可以得到推广的全概率公式.
n设n 个A1,A2,...,An事件互不相容, 且?Aj??,m个事件B1,B2,...,Bn中的Bi (i =
j?1n1 ,2 , ?,m) 只能与事件A1,A2,...,An之一同时发生,Bi?n?Bj?1iAj(i=1,2,…,m)则有 P (Bi)=
?P(Aj?1j)P(Bi/Aj)
(i=1,2,…,m)
2.1.2 推广的全概率公式的矩阵表示
n因为P (Bi)=?P(Aj)P(Bi/Aj) (i=1,2,…,m)
j?1 6
即 P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?...?P(An)P(B1/An)
P(B2)?P(A1)P(B2/A1)?P(A2)P(B2/A2)?...?P(An)P(B2/An)
.........
P(Bm)?P(A1)P(Bm/A1)?P(A2)P(Bm/A2)?...?P(An)P(Bm/An)按矩阵的乘法,有
?P(B1)???P(B2)???????P(B)m???P(B1/A1)?P(B2/A1)?????P(Bm/A1)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)????P(B1/An)??P(B2/An)????P(Bm/An)??P(A1)???P(A2)???????P(A)n??=
2.2 推广贝叶斯公式的矩阵表示
n设事件A1,A2,...,An互不相容,且?Aj??,在事件B1,B2,...,Bn中的Bi(i = 1 ,2 , ?,m)
j?1只能与事件A1,A2,...,An之一同时发生,则在事件Bi(i=1,2,…,m)发生的条件下,事件
Aj(j=1,2,…,n)发生的概率
P(Aj)P(Bi/Aj)P(Bi)(i?1,2,...m;j?1,2,...n)
P(Aj/Bi)?将所有的P(Aj/Bi)(i?1,2,...m;j?1,2,...n)排成如下矩阵,则由矩阵的运算,有
?P(A1/B1)?P(A1/B2)?????P(A1/Bm)P(A2/B1)P(A2/B2)?P(A2/Bm)????P(An/B1)??P(An/B2)????P(An/Bm)?
?P(A1)?P(B)1??P(A1)P(B2)=?????P(A1)??P(Bm)P(B1/A1)P(B2/A1)?P(Bm/A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)P(A2)P(Bm)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)?P(An)P(B1)P(An)P(B2)P(An)P(Bm)????P(B1/An)???P(B2/An)?????P(Bm/An)???
7
=
?1?P(B)1?????????1P(B2)?????????1?P(Bm)???P(B1/A1)?P(B2/A1)?????P(Bm/A1)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)????P(B1/An)??P(B2/An)????P(Bm/An)??P(A1)?????P(A2)??????P(An)?
即
?P(A1/B)?P(A1/B)?????P(A1/Bm)P(A/B)1?P(A/B)2??P(A2/Bm)??P(An/B)??P(An/B)????P(An/Bm)?2 =
?1?P(B)1?????????1P(B2)?????????1?P(Bm)???P(B1/A1)?P(B2/A1)?????P(Bm/A1)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)????P(B1/An)??P(B2/An)????P(Bm/An)?
?P(A1)?????P(A2)??????P(An)?
n容易证明
?P(Aj?1j/Bi)?1(i?1,2,...,m)
2.3 应用例证
例5 某厂有号码1、2、3的箱子个数分别为n1,n2,n3,其中1号箱子装有一等品a1件，二等品b1件，三等品c1件，2号箱子装有一等品a2件，二等品b2件，三等品c2件，3号箱子装有一等品a3件，二等品b3件，三等品c3件，现任选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？
8