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f2(y)??????f(x,y)dx??xe?x(1?y)dx0????xe?x(1?y)??1?y01???x(1?y)e?x(1?y)?edx??1?y?0(1?y)2于是
??0． 1?．(1?y)2?1，若y?0，?e?x，若x?0,? f2(y)??(1?y)2 f1(x)??? 0 ，若x?0；? 0 ，若y?0．?3.9 已知随机向量(X,Y)的概率密度为
?e?y，若0?x?y， f(x,y)?? 0 ，其他．?(1) 求随机变量X和Y的概率密度f1(x)和f2(y)； (2) 求X+Y不大于1的概率．
解 1) 随机变量X和Y的概率密度f1(x)和f2(y)都是f(x,y)的边缘密度；
???y???xedy，若x?0，?e?x，若x?0，f(x,y)dy????
0，若x?0．?? 0 ，若x?0，?f1(x)??同样可得随机变量Y的概率密度
????y f2(y)???????ye，若y?0， f(x,y)dx?? 0 ，若y?0．??y1 1/2 y=x y>x x+y=1 1/2 例3.9(2) 插图
x (2) X+Y不大于1的概率
P{X?Y?1}?
121?x?y?1?1/2 ??dx?edy?1?e?2e，x?y?10x??f(x,y)dxdyO 其中积分区域是插图的阴影部分．
3.10 假设射手甲、乙的命中率相应为0.6和0.7．二人各独立地进行一次射击，分别以X和Y表示他们命中的次数(0或1)，求X和Y的联合分布函数及其边缘分布函数．
解 (1) 求X和Y的联合分布．引进事件A?{甲命中}，B?{乙命中}．由条件知A和B独立，
P(A)?0.6,P(B)?0.7；(X,Y)有4个可能值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，显然A?{X?1}，B?{y?1}，因此 P{XP{XP{XP{X于是得X和Y的联合概率分布
?0,Y?0}?P(AB)?P(A)P(B)?0.4?0.3?0.12；?0,Y?1}?P(AB)?P(A)P(B)?0.4?0.7?0.28；
?1,Y?0}?P(AB)?P(A)P(B)?0.6?0.3?0.18；?1,Y?1}?P(AB)?P(A)P(B)?0.6?0.7?0.42．?(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)?(X,Y)~??0.120.280.180.42??．
??设F(x,y)为X和Y的联合分布函数．若x?0或y?0，则F(x,y)=0；对于0?x?1，0?y?1，
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F(x,y)?P{X?x,Y?y}?P{X?0,Y?0}?0.12；
对于x?1，0?y?1
F(x,y)?P{X?x,Y?y}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?0.30；对于0?x?1，y?1，
F(x,y)?P{X?x,Y?y}?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.40；对于x?1，y?1，显然F(x,y)=1．于是，X和Y的联合分布函数为
? 0 ，若x?0或y?0，?0.12，若0?x?1，0?y?1，??F(x,y)??0.30，若x?1，0?y?1，
?0.40，若0?x?1，y?1，??? 1 ，若x?1，y?1．(2) 求X和Y的联合分布函数的边缘分布函数，可以通过两个途径：一是先由X和Y的联合分布分别求X和Y的概率分布，然后求分布函数；二是直接由联合分布函数求边缘分布函数．我们用后一种方法求X和Y的分布函数F1(x)和F2(y)．
易见，当x?0时，F1(x)=0；当x?1时，F1(x)=1；现在设0?x?1，有
F1(x)?F(x,??)?P{X?x,Y???}?P{X?x,Y?1}?F(x,1)?0.4．于是，X的分布函数为
? 0 ，若x?0,?F1(x)??0.4，若0?x?1,
? ? 1 ，若x?1．类似可得Y的分布函数
? 0 ，若y?0,?F2(y)??0.3，若0?y?1,
? ，若y?1．? 1 3.11 设随机变量X和Y的联合密度为
?2e?2x?y，若x?0，y?0， f(x,y)??? 0 ，若x?0 或 y?0．求随机变量X和Y的联合分布函数和概率P{X?1,Y?1}?e．
解 设F(x,y)?P{X?x,Y?y}是X和Y的联合分布函数．当x?0或y?0时F(x,y)?0；设
?3x?0，y?0，则
F(x,y)?2?于是
x0?y0e?2ue?vdudv?(1?e?2x)(1?e?y)．
?(1?e?2x)(1?e?y)，若x?0，y?0，F(x,y)??? 0 ，若x?0 或 y?0．P{X?1,Y?1}??x?1,y?1???f(x,y)dxdy??2e1???2xdx???1
edy?e．?y?33.12 设G是曲线y?x2和直线y?x所围成的封闭区域，而随机向量(X,Y)在区域G上均匀分布，求Xy 4
G y?x2
y?x
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和Y的概率密度f1(x)和f2(y)．
解 设G是y?x和y?x2所围区域(见插图)，其面积SG为
4S0?2?140232ydy?2?y32?，3301?x2x3?12`SD??(x?x)dx?????，．
0236??0SG?S0?SD?10.5，其中S0是曲线y?x2和直线y?4所围成封闭区域的面积，SD是曲线y?x2和直线y?x所围成封闭区域的面积．因此X和Y的联合概率密度为
?11?，若(x,y)?G， f(x,y)??2?? 0 ，若(x,y)?G．O
(1) X的密度 对于x?(?２,0)，
f1(x)??f(x,y)dy?x2411411 dy?(4-x2)；?2x22对于x?(0,２)，
f1(x)??f(x,y)dy??f(x,y)dyx121x2 x11?1112????dy??dy??(x?x)；12?x?2于是
?112?2(4?x)，若?２?x?0，? f1(x)??112(x?x)，若０?x?2．?2?? 0 ，其他．(2) Y的密度 对于0?y?1
02f2(y)??f(x,y)dx??f(x,y)dx?20y
21021y2121??dx??dx?21?x?(2?y)；2?220202对于1?y?4，
21y f2(y)??dx?21y．2?y于是
?21?2(2?y)，若0?y?1，? f2(y)??21y ，若0?y?1，???0 ，其他．3.13 假设随机向量(X,Y)的联合分布是二元正态分布，其密度
f(x,y)?Cexp{?2x2?y2?8x?4y?13}，
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2求常数C和分布参数(?1,?2;?12,?2;?)．
解 将指数位上的式子配方
2x2?y2?8x?4y?13?2(x2?4x?4)?(y2?4y?4)?1 (x?2)22??(y?2)?1．1/2从而，有
?1?(x?2)2(y?2)2??f(x,y)?Cexp??????； 21/41/2????2由二元正态密度的标准形式，可见?1??2，?2?2，?12?1/4，?2 ?1/2，??0；Ce?1?1e2． ， C?π2π(1/2)(1/2)23.14 假设随机变量X和Y的联合分布是参数为?1?2,?2??1,?12?9,?2?15,???0.8的二元正态分
布，
(1) 求随机变X和Y的联合密度； (2) 求随机变Y关于X?x的条件密度．
解 由二元正态密度的标准形式，知X和Y的联合密度为
?25?(x?2)28(x?2)(y?1)(y?1)2??1?(x,y)?exp?????9??． 18π187525????熟知，作为X和Y的联合分布的边缘分布，随机变量X服从正态分布N(2,9)，其概率密度为
(x?2)?1?1(x)?e18(???x???)；
32π2因此随机变量Y关于X?x的条件密度为
??(x,y)1?[y??21(x)]?(y|X?x)??exp??2?1(x)2?2π?21?2|1?其中
2?? ?，???2|1(x)??2???21(x??1)?(5?4x)，?13
2?2|1??22(1??2)?9；于是，Y关于X?x的条件密度为
?[y?(5?4x)3]2?1?(y|X?x)?exp???．
1832π??
二、独立随机变量
3.15 假设随机变量X和Y相互独立，都服从同一0-1分布：