第1章 行列式(小结) 联系客服

发布时间 : 星期日 文章第1章 行列式(小结)更新完毕开始阅读

103100204例1:计算:D?199200395? 。

301300600解:行列式中第1列的三个数分别与100,200,300较接近,而第3列的数与200,400,600相近,故可把第2列的?1倍及?2倍分别加到第1列与第3列,第2列再提取公因数100,便可化简计算,即

310043143?850D??1200?5?100?12?5?100?1130001301?84?5?100?2000。

5?504abcdbadc例2:计算行列式:D?。

cdabdcba解:将D的第2、3、4行都加到第1行,并从第1行中提取公因子a?b?c?d,得:

1111badc, D??a?b?c?d?cdabdcba再将第2、3、4列都减去第1列,得:

1000a?bd?bc?bba?bd?bc?bD??a?b?c?d???a?b?c?d?d?ca?cb?c,

cd?ca?cb?cc?db?da?ddc?db?da?d把上面右端行列式第2行加到第1行,再从第1行中提取公因子a?b?c?d,得:

110b?c a?dD??a?b?c?d??a?b?c?d?d?ca?cc?db?d??a?b?c?d??a?b?c?d?a?db?cb?c a?d22??a?b?c?d??a?b?c?d??a?d???b?c?

??a?b?c?d??a?b?c?d??a?b?c?d??a?b?c?d?。

《第1章 行列式》小结 第 5 页 共 15 页

??12例3:计算行列式:D?3234345???n12。

?????n12?n?1123?n123?n134?1011?1?n112?n?n?1?011?1 解:D?n?n?1?145?22??????????112?n?101?n1?1(这里是r2?r3,r3?r4,?,rn?1?rn)

11?11?n11(按第一行第一列展开后,各行加至第一行) ?100?011?1?n1D?n?n?1?11?12????1?n1?100??n1D?n?n?1?00?02?????n0?0?1?1??1?1?n???1?n(n?1)2nn?nn?1。 2a1b1a1b2例4:计算行列式:D?a1b3a1b4a1b2a2b2a2b3a2b4a1b3a2b3a3b3a3b4a1b4a2b4。 a3b4a4b4解:观察行列式中元素的规律,第4行提出公因子b4后,再把第4行的?b1,?b2,?b3倍加到第1,2,3行,得:

a1b1D?b4a1b2a1b3a1a1b2a2b2a2b3a2a1b3a2b3a3b3a3a1b40a1b2?a2b100a2a1b4?a4b1a1b3?a3b1a2b3?a3b20a33a1b4?a4b1a2b4?a4b2

a3b4?a4b3a4a2b40?b4a3b40a4a1a1b2?a2b1?b4(?1)4?1a1b3?a3b1a2b3?a3b20a100a2b4?a4b2??a1b4??aibi?1?ai?1bi?。

i?1a3b4?a4b3《第1章 行列式》小结 第 6 页 共 15 页

a1例5:计算行列式:D?0a2b300b2a30b10。 0a400b4解:按第一行展开,得:

a2D?a1b30b2a3000a2b30b2a3 00?b10a4b4?a1a4?a2a3?b2b3??b1b4?a2a3?b2b3???a2a3?b2b3??a1a4?b1b4?。

00?000??0例6:计算行列式:D???????。

??????0??00000?解:第1行第1列均只有两个非零元素,可按第一行展开,得:

00?000??000??0D?(?1)n????????(?1)n?1??????

??000??????0??00000????0??000000?0?(n?1)(n?2)0???n20n?1?(?1)??(?1)??(?1)2?n?1

????????00?(?1)??(?1)n2(n?2)(n?3)2?n?2?(?1)n(n?1)2?n

?(?1)

(n?1)(n?2)2??(?1)nn(n?1)2?n。

题型4 递推公式法与数学归纳法 解题思路

递推公式法:应用按行(列)展开定理,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的

《第1章 行列式》小结 第 7 页 共 15 页

线性关系:

Dn??Dn?1??Dn?2 或 Dn??Dn?1??,

再根据此关系递推求得所给行列式的值,形如 的三对角行列式常用递推公式法计算(见例1)。

数学归纳法:对于包含整数n的公式,若要证的结果已知时,可用数学归纳法来证明(见例2),其步骤如下:

⑴ 验证n取第一个值(n?0,1或2等)时公式成立; ⑵ 假定n?k时公式成立,验证当n?k?1时公式也成立。

若要求的结果未知时,也可先猜想其结果,然后用数学归纳法证明其猜想结果成立(见例3)。

2100012100例1:计算01210。

0012100012解:由于a11的代数余子式是D4,因而也可直接对第一行展开通过建立递推关系来求D5,即

10D?2D4?001210012100?2D4?D3, 12把上述关系整理成:D5?D4?D4?D3,那么,递推地运用上述关系式,就有:

D5?D4?D4?D3?D3?D2?D2?D1?3?2?1?D5?D4?1,

再依次类推,得到:D5?D4?1?D3?2?D2?3?D1?4?6。 注:本题也可用化为三角形行列式的方法进行计算。

x0例2:计算n阶行列式Dn??0an解:按第一列展开,得:

?1x?0an?10?1?0?00?00???。 ?x?1a1an?2?a2?10x?1Dn?xDn?1?(?1)n?1an??00?00?00?xDn?1?an,

????x?1《第1章 行列式》小结 第 8 页 共 15 页