发布时间 : 星期六 文章第1章 行列式（小结）更新完毕开始阅读
103100204例1：计算：D?199200395? 。
301300600解：行列式中第1列的三个数分别与100，200，300较接近，而第3列的数与200，400，600相近，故可把第2列的?1倍及?2倍分别加到第1列与第3列，第2列再提取公因数100，便可化简计算，即
310043143?850D??1200?5?100?12?5?100?1130001301?84?5?100?2000。
5?504abcdbadc例2：计算行列式：D?。
cdabdcba解：将D的第2、3、4行都加到第1行，并从第1行中提取公因子a?b?c?d，得：
1111badc， D??a?b?c?d?cdabdcba再将第2、3、4列都减去第1列，得：
1000a?bd?bc?bba?bd?bc?bD??a?b?c?d???a?b?c?d?d?ca?cb?c，
cd?ca?cb?cc?db?da?ddc?db?da?d把上面右端行列式第2行加到第1行，再从第1行中提取公因子a?b?c?d，得：
110b?c a?dD??a?b?c?d??a?b?c?d?d?ca?cc?db?d??a?b?c?d??a?b?c?d?a?db?cb?c a?d22??a?b?c?d??a?b?c?d??a?d???b?c?
??a?b?c?d??a?b?c?d??a?b?c?d??a?b?c?d?。
《第1章 行列式》小结 第 5 页 共 15 页
??12例3：计算行列式：D?3234345???n12。
?????n12?n?1123?n123?n134?1011?1?n112?n?n?1?011?1 解：D?n?n?1?145?22??????????112?n?101?n1?1（这里是r2?r3，r3?r4，?，rn?1?rn）
11?11?n11（按第一行第一列展开后，各行加至第一行） ?100?011?1?n1D?n?n?1?11?12????1?n1?100??n1D?n?n?1?00?02?????n0?0?1?1??1?1?n???1?n(n?1)2nn?nn?1。 2a1b1a1b2例4：计算行列式：D?a1b3a1b4a1b2a2b2a2b3a2b4a1b3a2b3a3b3a3b4a1b4a2b4。 a3b4a4b4解：观察行列式中元素的规律，第4行提出公因子b4后，再把第4行的?b1，?b2，?b3倍加到第1，2，3行，得：
a1b1D?b4a1b2a1b3a1a1b2a2b2a2b3a2a1b3a2b3a3b3a3a1b40a1b2?a2b100a2a1b4?a4b1a1b3?a3b1a2b3?a3b20a33a1b4?a4b1a2b4?a4b2
a3b4?a4b3a4a2b40?b4a3b40a4a1a1b2?a2b1?b4(?1)4?1a1b3?a3b1a2b3?a3b20a100a2b4?a4b2??a1b4??aibi?1?ai?1bi?。
i?1a3b4?a4b3《第1章 行列式》小结 第 6 页 共 15 页
a1例5：计算行列式：D?0a2b300b2a30b10。 0a400b4解：按第一行展开，得：
a2D?a1b30b2a3000a2b30b2a3 00?b10a4b4?a1a4?a2a3?b2b3??b1b4?a2a3?b2b3???a2a3?b2b3??a1a4?b1b4?。
00?000??0例6：计算行列式：D???????。
??????0??00000?解：第1行第1列均只有两个非零元素，可按第一行展开，得：
00?000??000??0D?(?1)n????????(?1)n?1??????
??000??????0??00000????0??000000?0?(n?1)(n?2)0???n20n?1?(?1)??(?1)??(?1)2?n?1
????????00?(?1)??(?1)n2(n?2)(n?3)2?n?2?(?1)n(n?1)2?n
?(?1)
(n?1)(n?2)2??(?1)nn(n?1)2?n。
题型4 递推公式法与数学归纳法 解题思路
递推公式法：应用按行（列）展开定理，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的
《第1章 行列式》小结 第 7 页 共 15 页
线性关系：
Dn??Dn?1??Dn?2 或 Dn??Dn?1??，
再根据此关系递推求得所给行列式的值，形如 的三对角行列式常用递推公式法计算（见例1）。
数学归纳法：对于包含整数n的公式，若要证的结果已知时，可用数学归纳法来证明（见例2），其步骤如下：
⑴ 验证n取第一个值（n?0，1或2等）时公式成立； ⑵ 假定n?k时公式成立，验证当n?k?1时公式也成立。
若要求的结果未知时，也可先猜想其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立（见例3）。
2100012100例1：计算01210。
0012100012解：由于a11的代数余子式是D4，因而也可直接对第一行展开通过建立递推关系来求D5，即
10D?2D4?001210012100?2D4?D3， 12把上述关系整理成：D5?D4?D4?D3，那么，递推地运用上述关系式，就有：
D5?D4?D4?D3?D3?D2?D2?D1?3?2?1?D5?D4?1，
再依次类推，得到：D5?D4?1?D3?2?D2?3?D1?4?6。 注：本题也可用化为三角形行列式的方法进行计算。
x0例2：计算n阶行列式Dn??0an解：按第一列展开，得：
?1x?0an?10?1?0?00?00???。 ?x?1a1an?2?a2?10x?1Dn?xDn?1?(?1)n?1an??00?00?00?xDn?1?an，
????x?1《第1章 行列式》小结 第 8 页 共 15 页