第1章 行列式(小结) 联系客服

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第1章 行列式(小结)

一、本章知识点 1. 行列式定义

二阶行列式、三阶行列式、排列与逆序、对换、n阶行列式。 2. 行列式计算

行列式的性质、余子式和代数余子式、行列式按行(列)展开法则、三角形行列式与对角行列式、关于副对角线的行列式、范德蒙行列式。

3. 线性方程组

二元线性方程组、三元线性方程组、克莱姆法则、齐次线性方程组解的定理。 二、题型分析

题型1 利用行列式的定义计算行列式 解题思路

对含零元素较多的行列式,可直接用定义计算。因行列式中的项有一元素为零时,该项的值为零,故只需求出所有非零项即可。为求出所有非零项,将行标按标准顺序排列,再讨论列标所有可能的取值。具体做法是:对一般项a1j1 a1j2 ? a1jn,先由第1行的非零元素及其位置,写出j1可能取的数码,再由第2,3,?,n行的非零元素及其位置分别写出j2,j3,?,jn可能取的数码,进而求出j1 j2 ? jn的所有n级排列,该n级排列的个数即为所有非零项的项数(见例1),如果这样的非零项一个也没有,则该行列式的值为零(见例2)。此外,若一个n级行列式中零元素的个数大于n?n,则此行列式等于零。

例1:求下列排列的逆序数:

⑴ 1 3 ? (2n?1) 2 4 ? (2n);

解:排列 1 3 ? (2n?1) 2 4 ? (2n?2) (2n)

↓ ↓ ? ↓ ↓ ↓ ? ↓ ↓

逆序 0 0 ? 0 n?1 n?2 ? 1 0 故题设排列的逆序数为N?(n?1)?(n?2)?(n?3)???2?1?0?⑵ 1 3 ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? 2。

2n(n?1)。 2《第1章 行列式》小结 第 1 页 共 15 页

解:排列 1 3 ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? 4 2

↓ ↓ ? ↓ ↓ ↓ ? ↓ ↓

逆序 0 0 ? 0 0 2 2n?4 2n?2 故题设排列的逆序数为:

N?2?4???(2n?4)?(2n?2)?2[1?2???(n?2)?n?1)]?n(n?1)。

0a21例2:用行列式定义计算:D5?a3100a12a22a32a42a52a13a23a33a43a530a24a34000a25a35。 00解:设D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a1p1,a2p2,a3p3,a4p4,a5p5,

则由D5中第1,2,3,4,5行可能的非零元素分别得到:

p1?2,3;p2?1,2,3,4,5;p3?1,2,3,4,5;p4?2,3;p5?2,3;因为p1,p2,p3,p4,p5在上述可能取的数码中,一个5元排列也不能组成,故D5?0。

题型2 化行列式为三角形行列式进行计算 解题思路

利用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式。化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1(见例1);若所给行列式中元素间具有某些特征,则应充分利用这些特征,常见的如:行列式所有行(或列)对应元素相加后相等,则可通过提取公因子将第1行(或列)全部元素化为1(见例2、3);对瓜形( , , , )行列式,可通过将其余各行(或列)的某一倍数加至第1行(或列),化为三角形行列式(见例4),等等。

掌握行列式的特征是计算行列式的关键,在此基础上,充分利用行列式的性质以达到将其化为三角形行列式之目的。

2100012100例1:计算行列式01210。

0012100012解:本题有多种解法,例如,可利用递推公式法,这里利用化为上三角形行列式的方法进行计算。

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210002100003/210003/2100D?01210?004/310

002001121012000100000211021120001000

03/21?004/3000000003/210?004/30000005/41125/4106/53456?2?????6。

234521例2:计算行列式1121112???111。

?????111?2解:注意到该行列式中每一列中的n个元素之和都为n?1,故将第2,3,?,n行元素都加到第1行上,得

n?1n?1n?1?n?11Dn?1?121?110?(n?1)011012?1101???????11?2100?n?1。

11?(n?1)1121112???111

?????111?2?????000?1x例3:计算行列式Dn?1a1xa2a2a2a2xa3a3?ana1?a1a1a3?ana3?an。

??????a4?x解:将第2,3,?,n?1列都加到第1列,得:

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x??aix??aiDn?1?x??aii?1ni?1ni?1nna1xa2a2a3?ana3?an11a1xa2a2a3?ana3?an?x??aii?1n????x??ai?1a2xa3?an

a2xa3?an?i?1????????????1a2a3a4?xa2a3a4?x1n000x?a2?????000?n??n??x??ai??(x?ai)。

i?1??i?11x?a1????x??ai?1a2?a1i?1????1a0例4:计算行列式Dn?1a2?a1b1a100b2a3?a2?x?an?bn?100?0bn00,ai?0。 ?anc1?c2cn0?a2?0?????解:化为三角形行列式,把第i?1(i?1,?,n)列的?ci倍加到第一列,得: aia0??Dn?1?bicii?1ai00nb1a10b2?bn?100?0bnn0?bici?a1a2?an?a??0?a0i?1i?0?a2????。 ??0

???00??an题型3 利用行列式性质和展开定理计算行列式 解题思路

利用行列式的性质和按行(列)展开定理计算行列式,一般总是先利用行列式的性质,把行列式的某行(列)的元素假为尽可能多的零,然后再按此行(列)展开以达到降低行列式的阶数、将行列式转化为较低阶行列式来计算的目的,此即所谓降阶法。计算中,对具体的问题应具体分析,注意所给行列式的特征(见例1、2、3、4)。

通常情况下,如果所求行列式的某一行(或某一列)至多只有两个非零元素,一般可按此行(或此列)展开降阶求解(见例5、6)。

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