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第1章 行列式（小结）
一、本章知识点 1. 行列式定义
二阶行列式、三阶行列式、排列与逆序、对换、n阶行列式。 2. 行列式计算
行列式的性质、余子式和代数余子式、行列式按行（列）展开法则、三角形行列式与对角行列式、关于副对角线的行列式、范德蒙行列式。
3. 线性方程组
二元线性方程组、三元线性方程组、克莱姆法则、齐次线性方程组解的定理。 二、题型分析
题型1 利用行列式的定义计算行列式 解题思路
对含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。因行列式中的项有一元素为零时，该项的值为零，故只需求出所有非零项即可。为求出所有非零项，将行标按标准顺序排列，再讨论列标所有可能的取值。具体做法是：对一般项a1j1 a1j2 ? a1jn，先由第1行的非零元素及其位置，写出j1可能取的数码，再由第2，3，?，n行的非零元素及其位置分别写出j2，j3，?，jn可能取的数码，进而求出j1 j2 ? jn的所有n级排列，该n级排列的个数即为所有非零项的项数（见例1），如果这样的非零项一个也没有，则该行列式的值为零（见例2）。此外，若一个n级行列式中零元素的个数大于n?n，则此行列式等于零。
例1：求下列排列的逆序数：
⑴ 1 3 ? (2n?1) 2 4 ? (2n)；
解：排列 1 3 ? (2n?1) 2 4 ? (2n?2) (2n)
↓ ↓ ? ↓ ↓ ↓ ? ↓ ↓
逆序 0 0 ? 0 n?1 n?2 ? 1 0 故题设排列的逆序数为N?(n?1)?(n?2)?(n?3)???2?1?0?⑵ 1 3 ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? 2。
2n(n?1)。 2《第1章 行列式》小结 第 1 页 共 15 页
解：排列 1 3 ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? 4 2
↓ ↓ ? ↓ ↓ ↓ ? ↓ ↓
逆序 0 0 ? 0 0 2 2n?4 2n?2 故题设排列的逆序数为：
N?2?4???(2n?4)?(2n?2)?2[1?2???(n?2)?n?1)]?n(n?1)。
0a21例2：用行列式定义计算：D5?a3100a12a22a32a42a52a13a23a33a43a530a24a34000a25a35。 00解：设D5中第1，2，3，4，5行的元素分别为a1p1，a2p2，a3p3，a4p4，a5p5，
则由D5中第1，2，3，4，5行可能的非零元素分别得到：
p1?2，3；p2?1，2，3，4，5；p3?1，2，3，4，5；p4?2，3；p5?2，3；因为p1，p2，p3，p4，p5在上述可能取的数码中，一个5元排列也不能组成，故D5?0。
题型2 化行列式为三角形行列式进行计算 解题思路
利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式。化零时一般尽量选含有1的行（列）及含零较多的行（列）；若没有1，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1（见例1）；若所给行列式中元素间具有某些特征，则应充分利用这些特征，常见的如：行列式所有行（或列）对应元素相加后相等，则可通过提取公因子将第1行（或列）全部元素化为1（见例2、3）；对瓜形（ ， ， ， ）行列式，可通过将其余各行（或列）的某一倍数加至第1行（或列），化为三角形行列式（见例4），等等。
掌握行列式的特征是计算行列式的关键，在此基础上，充分利用行列式的性质以达到将其化为三角形行列式之目的。
2100012100例1：计算行列式01210。
0012100012解：本题有多种解法，例如，可利用递推公式法，这里利用化为上三角形行列式的方法进行计算。
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210002100003/210003/2100D?01210?004/310
002001121012000100000211021120001000
03/21?004/3000000003/210?004/30000005/41125/4106/53456?2?????6。
234521例2：计算行列式1121112???111。
?????111?2解：注意到该行列式中每一列中的n个元素之和都为n?1，故将第2，3，?，n行元素都加到第1行上，得
n?1n?1n?1?n?11Dn?1?121?110?(n?1)011012?1101???????11?2100?n?1。
11?(n?1)1121112???111
?????111?2?????000?1x例3：计算行列式Dn?1a1xa2a2a2a2xa3a3?ana1?a1a1a3?ana3?an。
??????a4?x解：将第2，3，?，n?1列都加到第1列，得：
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x??aix??aiDn?1?x??aii?1ni?1ni?1nna1xa2a2a3?ana3?an11a1xa2a2a3?ana3?an?x??aii?1n????x??ai?1a2xa3?an
a2xa3?an?i?1????????????1a2a3a4?xa2a3a4?x1n000x?a2?????000?n??n??x??ai??(x?ai)。
i?1??i?11x?a1????x??ai?1a2?a1i?1????1a0例4：计算行列式Dn?1a2?a1b1a100b2a3?a2?x?an?bn?100?0bn00，ai?0。 ?anc1?c2cn0?a2?0?????解：化为三角形行列式，把第i?1（i?1,?,n）列的?ci倍加到第一列，得： aia0??Dn?1?bicii?1ai00nb1a10b2?bn?100?0bnn0?bici?a1a2?an?a??0?a0i?1i?0?a2????。 ??0
???00??an题型3 利用行列式性质和展开定理计算行列式 解题思路
利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式，一般总是先利用行列式的性质，把行列式的某行（列）的元素假为尽可能多的零，然后再按此行（列）展开以达到降低行列式的阶数、将行列式转化为较低阶行列式来计算的目的，此即所谓降阶法。计算中，对具体的问题应具体分析，注意所给行列式的特征（见例1、2、3、4）。
通常情况下，如果所求行列式的某一行（或某一列）至多只有两个非零元素，一般可按此行（或此列）展开降阶求解（见例5、6）。
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