发布时间 : 星期六 文章概率论与数理统计试题题库更新完毕开始阅读
（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ ） 3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是
（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.
（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （ ） 4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 1111P??69183 若X,Y独立，则?,?的值为
2112 （A）??,??. （A）??,??.
99991151 （C） ??,?? （D）??,??. （ ）
6618185．设总体X的数学期望为?,X1,X2,,Xn为来自X的样本，则下列结论中
正确的是
（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ） 解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.
事实上由图 可见A与C不独立.
S A B C
2．X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)
?1??(2)??(?2)?1?[2?(2)?1]?2[1??(2)] 应选（A）. 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若X,Y独立则有 1 2 3 ??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) Y X 111111121 3 ?(????)(??)?(??) 6 9 183939112??????2133 ???， ?? 99111????2918 故应选（A）.
5．EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概
率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’
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B?‘任取一产品确是合格品’ 则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857. （2） P(B|A)?P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯
的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X的概率分布为 P(X?k)?C3k()k()3?kX2535k?0,1,2,3.
即 P02712515412523612538 125 X的分布函数为
x?0,?0,?27?,0?x?1,125???811?x?2, F(x)??,?125?1172?x?3,?125,?x?3.??1,262318 EX?3??,DX?3???.
555525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分
布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度.
y （1）(X,Y)的概率密度为 解： 1 f(x,y)??x+y=1 D D1 ???2,(x,y)?D
?0,其它.x f(x)? 0 z 1 X???f(x,y)dy??x+y=z ?2?2x,0?x?1
?0,其它 （2）利用公式fZ(z)????f(x,z?x)dx
?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.?? 其中f(x,z?x)?? 0,其它.0,其它???? 当 z?0或z?1时fZ(z)?0
z 0?z?1时 fZ(z)?2?0dx?2x0?2z
26 z=x zzx 故Z的概率密度为
??2z,0?z?1,f(z)? Z ?0,其它.?? Z的分布函数为
z?0?0,?0,z?0,?z?z2 fZ(z)????fZ(y)dy???02ydy,0?z?1???z,0?z?1,
??1,z?1.?z?1??1, 或利用分布函数法
?z?0,?0, FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)?????2dxdy,0?z?1,
?D1?1,z?1.??0,? ??z2,?1,?z?0,0?z?1, z?1. fZ(z)?FZ?(z)???2z,?0,0?z?1,其它.
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,22)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x2?y2?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?X2?Y2的数学期望. 解：y （1）P{X,Y)?D}???f(x,y)dxdy
D ???0 1 2 x D1e2??42?r28?x2?y28dxdy?18?2??0?182?21e?r28rdrd?
???1e （2）EZ?E(X?Y)???????22????rd(?)??e822?r28?e?e；
1?121?x?y?e8?22x?y82dxdy
?18???02???0re?r28rdrd???r281e4?0???r28r2dr
??re?r28????0??0edr?2?2?????1e2??r28dr?2?.
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的
样本，测得样本均值x?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）.
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（附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,
222 ?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488.
解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为 (X?t?/2(n?1)s,nX?t?/2(n?1)s) n X?10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132
所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
2 （2）H0:?2?0.1的拒绝域为?2???(n?1).
15S22?15?1.6?24，?0.05 ??(15)?24.996 0.12 因为 ?2?24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.
2《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答 一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且
P(A)?P(B)?0.5，P(C)?0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为___________.
（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中
各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X的概率密度为f(x)???2x,0?x?1, 现对X进行四次独立重复观察，
?0,其它,用Y表示观察值不大于0.5的次数，则EY2?___________. （4） 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为
(X,Y) P(1,0)0.4(1,1)0.2(2,0)a(2,1) b 若EXY?0.8，则Cov(X,Y)?____________.
（5） 设X1,X2,,X17是总体N(?,4)的样本，S2是样本方差，若P(S2?a)?0.01，则
a?____________.
2222 （注：?0.01(17)?33.4, ?0.005(17)?35.7, ?0.01(16)?32.0, ?0.005(16)?34.2） 解：（1）P(ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)
因为 A与C不相容，B与C不相容，所以A?C,B?C，故ABC?C
?A. B 同理 ABC P(ABC?AB)?C(P)?C(P?)AB0.?20?.5?0. .50.45 （2）设A?‘四个球是同一颜色的’， B1?‘四个球都是白球’，B2?‘四个球都是黑球’ 则 A?B1?B2. 所求概率为 P(B2|A)?28
P(AB2)P(B2) ?P(A)P(B1)?P(B2)