发布时间 : 星期三 文章概率论与数理统计试题题库更新完毕开始阅读
一、选择题（毎小题3分, 共6分）:
1. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（）.
（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4
2．若D(X?Y)?D(X?Y)，则（ （A）X与Y独立 （C）D(X?Y)?0
）.
（B）D(X)?D(Y) （D）X与Y不相关
1. 选（D）；由题意知：X～B(3, p)，而D(X)=3 · p · (1–p)=0.72 ∴ p=0.4。
2. 选（B）；∵E(X)=???xf(x)dx???a的奇函数，∴ E(X)=0。
二、判断题（每小题3分, 共12分）: 1．设随机变量X的概率密度为f(x)? ）
2．设X~N(0,?2)，则对任何实数a均有：X?a~N(a,?2?a2)．（ ）
Y从参数为?的指数分布，3．设X~N(?,?2)，则E(X2?Y2)??2??2．（ ）
??ax?a?x22dx，而被积函数为对称区间上
1（,???x???，则E(X)=0．
?(1?x2)4．设E(XY)?E(X)E(Y)，则X与Y独立．（ ）
1????x1??22x?f(x)dx?dx?d(1?x) 1. [×]； ∵ E(X)=???????(1?x2)????1?x2 ?1ln(1?x2)2?????????不一定等于零。
2. [×]； ∵ E(X+a)=E(X)+a=a，D(X)=D(X+a)=D(X)=?2 ∴ X+a～N(0,?2)
3. [√]； ∵ D(X)=E(X2)–[E(X)]2，D(Y)=E(Y2)–[E(Y)]2，
13
而 E(X)=?，D(X)=?2，E(Y)=，D(Y)=
?11?2(其中??1?)。
∴ E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=D(X)+[E(X)]2+D(Y)+[E(Y)]2
1?22?2 =?2??2?2?????????2?。
????124. [×]； 参见教材例3.14。 三、填空题（每空2分, 共22分）:
1．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：
XY 1 1/4 0 2 1/2 1/4 1 ?1 则E(X)= ，D(X)= ，E(Y)= ，D(Y)= ，cov(X,Y)= ，
?XY? ．
?ax?2,0?x?112．设连续型随机变量X概率密度为f(x)??，且E(X)?，
3其它?0,则常数a? ．
3．设随机变量X的数学期望E(X)?75,.D(X)?5，且P{|X?75|?k}?0.05，则k? ．
4．对圆的直径作近似测量，测量近似值X均匀分布于区间[0,a]内，则圆面积的数学期望是 ．
5．设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2,),Y~N(0,1)．令Z??Y?2X?3，则D(Z)? ．
6．设随机变量（X,Y）在区域D?{(x,y)|0?x?1,|y|?x}内服从均匀分布，则E(3X?5Y?2)? ．
?1. E(X)=1×?2?????=；
14
141?214?743111??7? D(X)=E(X)–[E(X)]=1??22????????=；
4?24??4?162
2
2211?11 E(Y)=1??????(?1)?=；
?42
2?4211?1?1?32 D(Y)=E(Y)–[E(Y)]=1????(?1)????=； ??4?2?4?42?2
22 cov(X, Y)=E(XY)–E(X)E(Y)=(?2)??(?1)?0?1??2???=?；
?18141412741218 ?XY?cov(X,Y)D(X)?D(Y)?1??； 333?1642. ∵ E(X)=???xf(x)dx? ∴ a=–2。
???a32?x?(ax?2)dx?x?x??0?31????10?a?33?13
3. ∵ |x|f(x)为奇函数，???|x|f(x)dx收敛，∴ E(X)=0。
aX?4. 设Y=????表示圆面积，∵ X～U[–a, a]，E(X)=0，D(X)=，
3?2?22????X?2????a2?a222 E(Y)=E??????E(X)?{D(X)?[E(X)]}??=。
1224443??????5. ∵ X与Y相互独立，∴ D(Z)=D(–Y+2X+3)=D(–Y)+D(2X+3) =(–1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。 6. D(Y)=D(2X–3)=4D(X)=4{E(X2)–[E(X)]2}=4(4–12)=12。 四、（10分）设随机变量（X,Y）的概率密度为：
?1?(x?y),0?x?2,0?y?1f(x,y)??3
?其它?0,求数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)及相关系数?XY． 、解：E(X)=??????xf(x,y)dxdy?????112dxx(x?y)dy ??00312?21?11 ??0?x?x?dx?；
3?2?9
15
211dyy(x?y)dx 3?0?0115 ??0(2y2?2y)dy?；
39????112∵ E(X2)=??????x2f(x,y)dxdy??0dx?0x2(x?y)dy
312116 ??0(x3?x2)dx?，
329 E(Y)=??????yf(x,y)dxdy?????1611?23∴ D(X)=E(X)–[E(X)]=??； ???9?9?92
2
2又 ∵ E(Y2)=??????y2f(x,y)dxdy? =
2
????2112dyy(x?y)dx ??0031127y(2y?2)dy? 3?0182
275?13∴ D(Y)=E(Y)–[E(Y)]=??； ???18?9?162又 ∵ E(XY)=??????xyf(x,y)dxdy?????112dxxy(x?y)dy ??00312?121?2 ??0?x?x?dx?，
3?23?3∴ cov(X, Y)=E(XY)–E(X) · E(Y)=?cov(X,Y)D(X)?D(Y)??181231151???； 9981 ?XY?2313?9162??9?16281?23?13??2。 299五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量X1,X2，已知均值分别为?1,?2，风险分别为?1,?2，相关系数为?，现有资金总额为C（设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？ 解：E(X)=???x?(x)dx??0xm?1?xe ??m!????m?1??xxm?xx?edx??d(?e?x) 0m!m!??0????0(m?1)??m?x1?xed(xm?1)?xedx ?0m!m!???m?1； =…=(m?1)?0e?xdx?(m?1)(?e?x)0?? ∵ E(X2)=?0x2?(x)dx? =?16
??1m?2?xxem!??01??m?2?x1??m?2?xxedx?xd(?e) ??00m!m!1??m?2???xm?1??e?xd(xm?2)?e?xdx m!0m!?0