发布时间 : 星期五 文章[精品][真题]2018年江苏省南通市中考数学试卷含答案解析(2)更新完毕开始阅读
28．（13分）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，（1）C（4，
），D（4，
），B（﹣2，﹣
）两点．
），E（4，）三点中，点 C 是点A，B关于直线x=4的等角点；
（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan
=；
（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．
【解答】解：（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣∴直线AB′解析式为：y=﹣当x=4时，y=故答案为：C
）
（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P 作BH⊥l于点H
∵点A和A′关于直线l对称 ∴∠APG=∠A′PG ∵∠BPH=∠A′PG ∴∠AGP=∠BPH
∵∠AGP=∠BHP=90° ∴△AGP∽△BHP ∴∴mn=2
，即，即m=
∵∠APB=α，AP=AP′ ∴∠A=∠A′=
在Rt△AGP中，tan
（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时， 点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方的圆上
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°
∴∠APQ=∠A′PQ=60°
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60° ∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ ∴△ABQ是等边三角形 ∵线段AB为定线段 ∴点Q为定点
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合 ∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q
连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N ∵A（2，
），B（﹣2，﹣
）
∴OA=OB=
∵△ABQ是等边三角形 ∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=∴∠AOM+∠NOD=90°
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO ∵∠AMO+∠ONQ=90° ∴△AMO∽△ONQ ∴∴∴ON=2
，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）
设直线BQ解析式为y=kx+b 将B、Q坐标代入得
解得
∴直线BQ的解析式为：y=﹣设直线AQ的解析式为：y=mx+n 将A、Q两点代入
解得
∴直线AQ的解析式为：y=﹣3
若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=7又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方 ∴b＜﹣
且b≠﹣2
或b＞