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?４．信息指标的综合、识别与评价
（1）扩张指数方法
扩张指数方法根据扩张和半扩张指标数量比例进行指标信息的综合。计算公式是： （2）景气对策信号方法
景气对策信号方法采用类似交通管制信号灯的方法来显示经济总体的运行状态和应当采取的景气对策，如我国将经济运行的景气波动范围划分为过热、偏热、正常、偏冷和过冷五个景气区，分别用红灯、黄灯、绿灯、浅蓝灯和蓝灯表示。
(3) “组合信号”预测
在实际应用中为了提高预测的准确性，还可以利用同步指标甚至是滞后指标参与预测，然后取各个预测值的平均值作为最终预测值，称为“组合信号”预测值。
第3章 回归分析预测法
3.1 引言
1．回归分析的提出
回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔登（Francis Galton
1822-1911）在19世纪末叶研究遗传学特性时首先提出来的。
高尔登在1889年发表的著作《自然的遗传》中，提出了回归分析方法以后，很快就应
用到经济领域中来，而且这一名词也一直为生物学和统计学所沿用。
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?回归的现代涵义与过去大不相同。一般说来，回归是研究因变量随自变量变化的关系形式
的分析方法。其目的在于根据已知自变量来估计和预测因变量的总平均值。 ２．回归分析和相关分析
（1）函数关系
函数关系反映客观事物之间存在着严格的依存关系。在这种关系中，当一个或几个变量取值一定时，另一个变量有确定的值与之相对应，并且这种关系可以用一个确定的数学表达式反映出来。
一般把作为影响因素的变量称为自变量，把发生对应变化的变量称为因变量。 （2）相关关系
相关关系反映的是客观事物之间的非严格、不确定的线性依存关系。这种线性依存关系有两个显著的特点：
①客观事物之间在数量上确实存在一定的内在联系。表现在一个变量发生数量上的变化，要影响另一个变量也相应地发生数量上的变化。
②客观事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的随机性。表现在当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之对应的另一个变量可以取若干个不同的数值。这种关系虽然不确定，但因变量总是遵循一定规律围绕这些数值的平均数上下波动。 （３）回归分析与相关分析的关系
相关分析是以相关关系为对象，研究两个或两个以上随机变量之间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析是对具有相关关系的变量之间的数量变化规律进行测定，研究某一随机变量（因变量）与其他一个或几个普通变量（自变量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进行估计和预测的分析方法。由回归分析求出的关系式，称为回归模型
回归分析与相关分析的联系是，它们是研究客观事物之间相互依存关系的两个不可分割的方面。在实际工作中，一般先进行相关分析，由相关系数的大小决定是否需要进行回归分析。在相关分析的基础上建立回归模型，以便进行推算、预测，同时相关系数还是检验回归分析效
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果的标准。相关分析需要回归分析来表明客观事物数量关系的具体形式，而回归分析则应建立在相关分析的基础上。 ３．回归模型的种类
（1）根据自变量的多少，回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。
（2）根据回归模型的形式线性与否，回归模型可以分为线性回归模型和非线性回归模型。 （3）根据回归模型所含的变量是否有虚拟变量，回归模型可以分为普通回归模型和带虚拟变量的回归模型。
此外，根据回归模型是否用滞后的因变量作自变量，回归模型又可分为无自回归现象的回归模型和自回归模型。
3.2 一元线性回归预测法
一元线性回归预测法，是对两个具有线性关系的变量，建立线性回归模型，根据自变量的变动来预测因变量平均发展趋势的方法。
?1. OLS (Ordinary Least Square）估计 ?2. OLS的特性
?最小二乘估计量 具有线性、无偏性和最小方差性等良好的性质。线性、无偏性和最
小方差性统称BLUE性质。满足BLUE性质的估计量称为BLUE估计量。
?3. 回归方程的检验
?在一元线性回归模型中最常用的显著性检验方法有：
– 相关系数检验法 –F 检验法 –t 检验法
3.3 回归方程的检验
3.3.1 离差平方和的分解与可决系数
在一元线性回归模型中，观测值的数值会发生波动，这种波动称为变差。变差产生的原因如下：
①受自变量变动的影响，即x取值不同时的影响；
②受其他因素（包括观测和实验中产生的误差）的影响。为了分析这两方面的影响，需要对总变差进行分解。
1．离差平方和的分解
?i)2?(y?i?y)2=Lyy?Q?Q (yi?y)2?(yi?y???12即
总变差=剩余变差+回归变差
22．可决系数R
R2?2回归变差Q2?
总变差Lyy可决系数R的大小表明了在y的总变差中由自变量x变动所引起的回归变差所占的比例，
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是反映变量x与y之间的线性相关关系密切程度的一个重要指标。根据上述定义，有
R2
3.3.2 相关系数检验法
相关系数是用来衡量一元线性回归模型中两个变量之间线性相关关系强弱程度的指标。一般说来，相关系数愈大说明两个变量之间的线性相关关系愈强。但相关系数的绝对值大到什么程度时，才能认为两变量之间的线性相关关系是显著的，回归模型用来预测是有意义的？对于不同组数的观测值，不同数值的显著性水平，衡量的标准是不同的。这一数量界限的确定只有根据具体的条件和要求，通过相关系数检验法的检验才能加以判别。相关系数检验法的步骤如下：
1．计算相关系数R；
2．根据回归模型的自由度（n-2）和给定的显著性水平?值，从相关系数临界值表中查出临界值R?(n?2)；
3．判别。若|R|>R?(n?2)，表明两变量之间线性相关关系显著，检验通过，这时回归模型可以用来预测；若|R|?R?(n?2)，表明两变量之间线性相关关系不显著，检验未通过。在这种情况下，回归模型不能用来进行预测。这时，应分析其原因，对回归模型重新调整。 3.3.3 F检验法
构造F统计量
?(y???(yi?y)22i?y)(y??1??(yi?)2?y2i?y)
F?可以证明F服从第一自由度为1，第二自由度为n－２的Ｆ分布。对给定的显著性水平?，查Ｆ分布表可得临界值F?(1,n?2)。
若Ｆ>F?，则认为两变量之间线性相关关系显著；反之，若Ｆ?F?，则认为两变量之间线性相关关系不显著。 3.3.4 t检验法
t检验法是检验a, b是否显著异于０的方法。我们以对b检验为例来说明t检验法的步骤。
?(y??(yii?y)2?i)2/(n?2)?y?Q2
Q1/(n?2)?b构造t统计量t?
Sb?其中Sb????(yi?yi)2(n?2)?xi2??bQ1?，Sb可以证明t?服?称为b的样本标准差。
Sb?(n?2)?xi2从自由度为（n－2）的t分布。查t分布表得临界值t?/2(n?2)。若t>t?/2(n?2)，则认为b显著异于０，反之，若t?t?/2(n?2)，则认为b不显著异于０。
对于a是否显著异于０的检验过程与此完全相同。
3.3.5 预测区间
1．点估计
在一元线性回归模型中，对于自变量x的一个给定值，代入回归模型，就可以求得一个对应的回归预测值，又称为点估计值。
设预测点为(x0,y0)，则预测值为：
?x ?0?a??by0
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2．区间估计
所谓预测区间就是指在一定的显著性水平上，依据数理统计方法计算出的包含预测对象未来真实值的某一区间范围。
设其预测误差为：
?0 e0?y0?y?0都服从正态分布，所以e0也服从正态分布，其期望值与方差分别为： 由于y0和y?0)?E(y0)?E(y?0)?0 E(e0)?E(y0?y?1(x0?x)2?2?0)?D(y0)?D(y?0)?????D(e0)?D(y0?y? 2?n(x?x)???i???1(x0?x)2?2??1??? 2?n(x?x)???i???1(x0?x)2?2?) 所以，e0~N(0,?1??2?n(x?x)???i??2令
?1(x0?x)2?2S??1??S 2?yn(x?x)???i??20?0的预测区间为： 通过上述分析，可以得到，在显著性水平为?时，预测值y?0?t?/2(n?2)S0 y当实际观测值较多，满足大样本条件（一般n>３０）时，式（中根式的值近似地等于１，
式中的t?/2(n?2)也近似趋于正态分布Z?/2，因此，可简化为：
?0?Z?/2?Sy y3.3.5 几个应当注意的问题
1．重视数据的收集和甄别
在收集数据的过程中可能会遇到以下困难： （1）一些变量无法直接观测。 （2）数据缺失或出现异常数据。 （3）数据量不够。
（4）数据不准确、不一致、有矛盾。 2. 合理确定数据的单位
在建立回归方程时，如果不同变量的单位选取不适当，导致模型中各变量的数量级差异悬殊，往往会给建模和模型解释带来诸多不便。比如模型中有的变量用小数位表示，有的变量用百位或千位数表示，可能会因舍入误差使模型计算的准确性受到影响。因此，适当选取变量的单位，使模型中各变量的数量级大体一致是一种明智的做法。 3.3.6 举例
例 江苏省1986－2003年国内生产总值和固定资产投资完成额数据如表3.3.1所示。
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