发布时间 : 星期三 文章2020高考数学一轮复习第七章立体几何7-7-1利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理更新完毕开始阅读
2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章立体几何7-7-1利用空间向量
证明空间中的位置关系课时提升作业理
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·泉州模拟)设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k= ( ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 【解析】选B.由α∥β知n1∥n2,则n2=λn1. 即(-2,-4,k)=λ(1,2,-2), 即解得k=4.
【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的 是 ( )
A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 【解析】选A.因为α⊥β, 所以n1⊥n2,即n1·n2=0, 经验证可知,选项A正确.
2.(2016·西安模拟)若平面α,β的法向量分别是n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 ( )
2019年
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上答案均不正确
【解析】选C.因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0. 所以n1与n2不垂直,且不共线. 所以α与β相交但不垂直.
3.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
【解析】选D.由=λ+μ知,向量,,共面,则直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
4.(2016·珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 ( ) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.
【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0), E,F,B(1,1,0),
2019年
D1(0,0,1),
=(-1,0,-1),=(-1,1,0), =,=(-1,-1,1), =-,·=·=0,
从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.
5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 ( )
A.(1,1,1) B.C. D.
【解析】选C.由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1). 则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c). 则即
解得令b=1,则n=(1,1,). 又AM∥平面BDE,所以n·=0. 即2(x-)+=0,得x=, 所以M.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a= .
【解析】由共面向量定理知=x+y,
即(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4),
2019年
即解得a=16. 答案:16
7.(2016·襄阳模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面α与β的位置关系是 . 【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z), 则得
得令z=1,得m=(1,1,1).
又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n, 所以α∥β. 答案:平行
【方法技巧】平面的法向量的求法
(1)设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.
(2)注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为 .
【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF, 只需·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)