发布时间 : 星期四 文章张军《西方经济学学习精要与习题集》(第3章 需求理论)更新完毕开始阅读
有上述三式解得：x??
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?L?bxayb?1??py?0 ?yambm，y??。 pxpy（2）消费者的支出最小化问题：
minpxx?pyyx,y
s.. txy?uab构造拉格朗日函数：
L?pxx?pyy??u?xayb
??根据支出最小化的一阶条件解得：
pxay?。 pybxbb?1H?apy??apy?H将其代入u?xy?0，可得希克斯需求曲线：x??，uy?????bpx??bpx?abu。
17．消费者1的支出函数为e1?p1,p2,u1??u1p1p2，消费者2的效用函数为u2?x1,x2??43x13x2a。求：
（1）每个消费者关于每种物品的马歇尔需求函数，m1和m2分别表示消费者1、2的收入。
（2）参数a等于多少将会使得总需求函数与收入的分配无关。
解：（1）由e1?p1,p2,u1??u1p1p2?p1x1?p2x2?m1，可得间接效用函数为：
v1?p1,p2,m1??u1?m1p1p2
根据罗伊恒等式可求得消费者1的马歇尔需求函数为：
x1??x2???v1/?p1m?1
?v1/?m12p1?v1/?p2m?1
?v1/?m12p2消费者2的马歇尔需求函数通过求解直接效用函数的最大化问题得到：
maxu2?x1,x2??43x13x2ax1,x2
s.. tp1x1?p2x2?m2构造拉格朗日函数：
L?x1,x2,???43x13x2a???m2?p1x1?p2x2?
一阶条件为：
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?L?129x12x2a??p1?0 ?x1?L?43ax13x2a?1??p2?0 ?x2?L?m2?p1x1?p2x2?0 ??解得：x1?3m2am2??，x2?，此即消费者2的马歇尔需求函数。 3?ap13?ap2（2）物品1的总需求函数为：
x1?m13m2?3?a?m1?6m2??? 2p13?ap12?3?a?p1若要总需求与收入分配无关，则需使m1、m2前的系数相等，即3?a?6，即a?3。 同样，物品2的总需求函数为：
x2?m1am2?3?a?m1?2am2??? 2p23?ap22?3?a?p2要使总需求与收入分配无关，则有3?a?2a，可得a?3。 故当a?3时，x1?关。
18．假定某消费者的效用函数为U?x1,x2??min?ax1,x2?，其中a为大于零的常数，x1，
x2的价格分别为p1，p2，消费者的收入为I。
m1?m2m?m2，x2?1，从而总需求只与总收入有关，与收入分配无2p12p2（1）请画出该消费者的无差异曲线，并说明相应商品的边际替代率。
（2）试求商品的需求函数。
（3）请说明商品的收入效应、替代效应和总效应。
（4）请画出相应的收入—消费线（ICC）和商品的恩格尔曲线（EC）。
解：（1）由效用函数U?x1,x2??min?ax1,x2?可知，为了达到效用最大化，该消费者必须始终按照ax1?x2的比例来消费两种商品。可见无差异曲线为固定替代弹性的，
MRS12??dx2??a，即x1对x2的替代比率恒为a，见图3-9。 dx1
图3-9 无差异曲线
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（2）该消费者达到效用最大化要求等式ax1?x2成立，预算约束方程为：p1x1?p2x2?I。联立这两个等式，可得商品x1和x2的需求函数分别为：
x1?x2?I
p1?ap2aI
p1?ap2（3）由于消费者始终以一个固定的比例a以来消费x1和x2，所以这两种商品的替代效应为0。
因此，总效应＝收入效应＝
?x1I??。 2?p1?p1?ap2?（4）收入—消费线描述了在价格给定的前提下，由于收入的变化而导致的消费者均衡
点的变化轨迹，见图3-10。
图3-10 收入消费线
恩格尔曲线描述了收入变动与需求量变动之间的关系。以商品x1为例，由于
x1?I1，可见收入I与x1之间成一个固定的正的比例关系：，参见图3-11。
p1?ap2p1?ap2
图3-11 恩格尔曲线
19．某君的爱好是葡萄酒，当其他商品价格固定不变时，他对高质量的红葡萄酒的需
q?0.02M?2p，收入M?7500元，价格p?30元，现在价格上升到40元，问价求函数为 格上涨的价格效应是多少瓶酒？其中替代效应又是多少？收入效应是多少瓶？
q?0.02M?2p?90（瓶）解：当收入M?7500元，价格p?30元时， 。
价格上升到40元以后，为了使他仍然能够买到同价格变化前一样数量的红葡萄酒和其他商品，需要的收入为：M?7500?90??40?30??8400（元）。
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当M?8400元，p?40元时，该消费者事实上不会购买90瓶红葡萄酒，他会减少红葡萄酒的购买量，而用别的酒来代替。
这时红葡萄酒的购买量为：q?0.02M?2p?0.02?8400?2?40?88（瓶）。
由于消费者的收入维持在M?7500元的水平不变，而酒的价格涨到p?40元时，等于他的实际收入还是下降了，因此不仅替代效应会使他减少红葡萄酒的购买量，收入效应也会使他减少红葡萄酒的购买量。
事实上，他对红葡萄酒的购买量只有q?0.02M?2p?0.02?7500?2?40?70（瓶）。 可见，价格效应使他对红葡萄酒的需求减少20（90?70）瓶，其中，替代效应是减少2（90-88）瓶，收入效应是减少18（88?70）瓶。
20．消费者的效用函数为：u?2x1?4x2。求： （1）两种物品x1，x2的马歇尔需求函数。
（2）希克斯需求函数。 （3）支出函数。
（4）间接效用函数。 解：（1）马歇尔需求函数是个体的效用最大化选择。设两种商品的价格分别为p1、p2，消费者的收入为m。因为该最优化问题可以写成如下形式：
max u?x1,x2??2x1?4x2x1,x21212 s.. tp1x1?p2x2?m构造拉格朗日函数：
L?2x1?4x2???m?p1x1?p2x2?
效用最大化的一阶条件为：
?L1???p1?0 ?x1x1?L2???p2?0 ?x2x2?L?m?p1x1?p2x2?0 ??p2m4p1mm?有上述三式解得：x1m?，x2。此即为物品x1，x2的马歇尔
p1?4p1?p2?p2?4p1?p2?需求函数。
（2）希克斯需求是支出最小化问题。对于给定的效用水平u0，该最优化问题可以表述为：
min p1x1?p2x2x1,x2
s.. 2tx1?4x2?u0构造拉格朗日函数：
?? p1x1?p2x2??u0?2x1?4x2
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