发布时间 : 星期日 文章2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题31 点直线与圆的位置关系试题(含解析)更新完毕开始阅读
∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC∥AD， 而CD⊥AB， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE交AB于H，如图， ∵E为
的中点，
∴OE⊥AB， ∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE=， ∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=设EH=3x，BH=4x， ∴BE=5x， ∵BG=BE=5x， ∴GH=x，
在Rt△EHG中，x+（3x）=（3∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9， 在Rt△OHB中，（r﹣9）+12=r，解得r=即⊙O的半径为
．
2
2
2
2
2
=
），解得x=3，
2
，
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．
19. （2018?陕西?10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．
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(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB； (2)连接MD，求证：MD＝NB．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O的切线，ON//AB，继而可得到结论；
（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．
【详解】（1）如图，连接ON，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AD＝CD＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC，
又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠DBC， ∴ON∥AB，
∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径， ∴∠ONE＝90°，
∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；
（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB， ∵OC＝OD，∴ ∴CN＝NB＝CB，
又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC， 又∵D是AB的中点，∴MD＝CB， ∴MD＝NB．
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【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=25，BC=
，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．
【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；
（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=45°， ∴∠AOD=90°， ∵DE∥AC，
∴∠ODE=∠AOD=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）在Rt△ABC中，AB=2∴AC=∴OD=，
=5，
，BC=
，
，即可求出答案．
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过点C作CG⊥DE，垂足为G， 则四边形ODGC为正方形， ∴DG=CG=OD=， ∵DE∥AC， ∴∠CEG=∠ACB， ∴tan∠CEG=tan∠ACB， ∴
，即
，
解得：GE=， ∴DE=DG+GE=．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.
21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
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