发布时间 : 星期四 文章高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及答案更新完毕开始阅读
【高中数学】《空间向量与立体几何》知识点汇总
一、选择题
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是（ ）
①平面PB1D?平面ACD1 ②A1P//平面ACD1
③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是?0,?
3
??
π??
④三棱锥D1?APC的体积不变 A．①② 【答案】B 【解析】 【分析】
由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】
正方体中易证直线AC?平面BDD1B1，从而有AC?B1D，同理有B1D^AD1，证得
B．①②④
C．③④
D．①④
B1D?平面ACD1，由面面垂直判定定理得平面PB1D?平面ACD1，①正确；
正方体中A1B//CD1，BC1//AD1，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面
A1BC1//平面ACD1，而A1P?平面A1BC1，从而得A1P//平面ACD1，②正确；
当P是BC1中点时，A1P在平面A1B1CD内，正方体中仿照上面可证AD1?平面
A1B1CD，从而AD1?A1P，A1P与AD1所成角为90?．③错；
∵VD1?APC?VP?AD1C，由BC1//平面ACD1，知P在线段BC1上移动时，P到平面ACD1距离相等，因此VP?AD1C不变，④正确． 故选：B． 【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A．8(6?62?3) B．6(8?82?3) C．8(6?63?2) D．6(8?83?2) 【答案】A 【解析】 【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2?22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为
11??S?6??(2?22)2?4??2?2??8??2?3?8(6?62?3).
22??故选：A. 【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
3．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面．．
A1B1C1D1上，且AP?平面MBD1.线段AP长度的取值范围为( )
A．?1,2?
??【答案】D 【解析】 【分析】
?B．??1,3?
?3?,2? C．?2???6?,2? D．?2??以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，设P?x,y,1?，M?0,1,t?，由AP??x?t+1平面MBD1，可得?，然后用空间两点间的距离公式求解即可.
y?1?t?【详解】
以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，
则A?1,0,0?,B?1,1,0?,M?0,1,t?,D1?0,0,1?，P?x,y,1?.
uuuruuuuruuuurAP??x?1,y,1?,BD1???1,?1,1?,BM???1,0,t?，t??0,1?
uuuuruuuruuuuruuur由AP?平面MBD1，则BM?AP?0且BD1?AP?0
所以1?x?t?0且1?x?y?1?0得x?t+1，y?1?t.
uuur所以AP?1?3t??x?1??y?1?2???? ?2?2222uuuruuur16?2， 当t?时，AP，当t?0或t?1时，AP?maxmin22r6uuu所以?AP?2 2故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
4．在以下命题中：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
rrrrrr②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线； ③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP?2OA?2OB?2OC，则P，
rrrruuuruuuruuuuruuuurA，B，C四点共面
rrrrrrrr④若a，b是两个不共线的向量，且c??a??b(?,??R,?,??0)，则{a,b,c}构成空
间的一个基底
rrrrrrrrr⑤若a,b,c为空间的一个基底，则a?b,b?c,c?a构成空间的另一个基底；
????其中真命题的个数是（ ） A．0 【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，
B．1
C．2
D．3
rrrrrrc共面，故①正确；
rr②由空间基底的定义知，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，故②正确；
③由2?2?2??2?1，根据共面向量定理知P,A,B,C四点不共面，故③错误；
rrrrrrrrrrr④由c??a??b，当????1时，向量c与向量a，b构成的平面共面，则a,b,c不
??能构成空间的一个基底，故④错误；