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中考二次函数压轴题
--------解题通法研究
四川省高县胜天中学校
李培高（LPG）编制
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中考二次函数压轴题
--------解题通法研究
四川高县胜天中学校 李培高（LPG）
二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关命题老师和专家、学者的必选内容。我通过近６年的研究，思考和演算了上1000道二次函数压轴题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。
几个自定义概念：
（1）三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。
（2）动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P在y=2x+1上， 就可设P（t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝3x2?2x?1，则可设为Ｐ（ｔ，3t2?2t?1）当然若动点M 在
X轴上，则设为（t, 0）.若动点M在Ｙ轴上，设为（０，ｔ）． （3）动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。
（4）动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 （5）定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。
（6）定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：ｙ＝３ｘ－６。
（7）X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。
（8）直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。
（9）交点三角形：抛物线与X、Y的交点构成的三角形。
（10）顶点三角形：抛物线与X轴的两个交点和顶点构成的三角形。
1.求证“两线段相等”的问题：
借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。
２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于
y轴的线段长度计算公式y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称K点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。
4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题： （方法1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且
与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=b2-4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以
b2-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物
线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。
（方法2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。
（方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的