发布时间 : 星期四 文章江苏省13市中考数学试题分类解析汇编专题9 三角形更新完毕开始阅读
EC，而EC可由EC＝
DC求得。
tan?DECA D A A 6.（南京9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、 PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三 角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
B
P C ①
B
E C B ②
③
C
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
【答案】解： ⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线， ∴CD?1AB。∴CD=BD。∴∠BCE＝∠ABC。 2 ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°。∴∠BEC＝∠ACB。∴△BCE∽△ABC。 ∴E是△ABC的自相似点。
⑵①作图如图：
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD
交CE于点P。则P为△ABC的自相似点。
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，
11∴?PBC??ABC，?PCB??ACB。
22 ∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC。
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC ＝2∠A， ∠ACB＝2∠BCP＝4∠A。
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°。∴?A?180。 7 ∴该三角形三个内角的度数分别为
180360720、、。 777【考点】直角三角形斜边上的中线的性质, 等腰三角形的判定和性质, 相似三角形的判定和性质, 尺规作图, 三角形内心定义, 三角形内角和定理。
【分析】⑴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知△CDB是等腰三角形, 从而得对应角∠BCE＝∠ABC．从而由两个都是直角三角形而得证。
⑵①由相似三角形两个角相等的判定, 分别作出两个角即可得到。
②由三角形内心是角平分线的交点和相似三角形对应角相等的性质推出三个角之间的关系, 再
应用三角形内角和定理求。
7.（泰州10分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。 （1）求证：GF⊥OC；
AHG65°OEDFCB（2）求EF的长（结果精确到0.1m）。
（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91） 【答案】解:（1）在四边形BCFG中，
∵∠GFC＝360°－90°－65°－（90°＋25°）＝90°， ∴GF⊥OC。
（2）如图，作FM∥GH交EH与M， 则有平行四边形FGHM，
∴FM＝GH＝2.6m，∠EFM＝25°。 ∵FG∥EH，GF⊥OC，∴EH⊥OC 在Rt△EFM中：
EF＝FM·cos25°≈2.6×0.91＝2.4m
【考点】多边形内角和定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形。
（第23题图）【分析】（1）欲证GF⊥OC，只要证90°，在四边形BCFG中应用四边形内角和是360°，即可证得。 （2）欲求EF的长，就要把它放到一个三角形中，作FM∥GH交EH与M，易证EH⊥OC，
解Rt△EFM可得。 8.（扬州10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC ＝∠CDB＝900。
∵OB＝OC，∴∠OBC ＝∠OCB 。
又∵BC＝BC，∴△BEC≌△CDB（AAS）。∴∠ABC ＝∠ACB。 ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形。
（2）点O在∠BAC的角平分线上。理由如下：
∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE。又∵ OB＝OC，∴OD＝OE。 又∵OD⊥AC，OE⊥AB，?点O在∠BAC的角平分线上。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的判定。
【分析】（1）要证△ABC是等腰三角形，只要∠ABC ＝∠ACB，只要△BEC≌△CDB。由已知，用AAS即可证明。
（2）要证点O在∠BAC的角平分线上．只要证点O到两边的距离相等OD＝OE。而由（1）的证明有△BEC≌△CDB，由等量变换可证。 9.（扬州10分）如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面支架CD与水平面AE垂直，⊙O的圆心O，
AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．
（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）
A
B D C
EO
，3≈1.73） （2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41【答案】解：（1）在Rt△CDE中，DE＝76厘米，∠CED＝600，
∴CD＝DE?sin60°?383?cm?。
（2）设OD＝OB＝xcm，
在Rt△AOC中，∠BAC＝300， ∴OA＝2OC，即150?x?2x?383 解得x?150?763≈18.5。 ∴水箱半径OD的长度为18.5cm。
【考点】解直角三角形，特殊角三角函数值，300直角三角形的性质，列方程解应用题（几何问题）。 【分析】（1）在Rt△CDE中直接应用正弦函数解直角三角形。
（2）在Rt△AOC中，∠BAC＝300则OA＝2OC，从而列式求解。 10.（盐城10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）
【答案】解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.。
1
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝30× ＝15。
23
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝40×＝203。
2∴CE＝CF＋FD＋DE＝15＋203＋2＝17＋203≈51.64≈51.6（cm）。 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm。 【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值，矩形的性质。
【分析】要求CE就要考虑直角三角形，所以作辅助线：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. 得到两个直角三角形和一个矩形。这样利用解直角三角形就易求出。
11.（盐城12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP
DEG60°A??CF30°B