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第九部分 电场
【扩展知识】
1．均匀带电球壳内外的电场
（1）均匀带电球壳内部的场强处处为零。 （2）均匀带电球壳外任意一点的场强公式为 E?kQ。 2r式中r是壳外任意一点到球心距离，Q为球壳带的总电量。 ⑶如果球壳是有厚度的的（内径R1 、外径R2）， 在壳体中（R1＜r＜R2）：E =
34r3?R1??k3r2 ，
其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解
4??(r3?R3)〔3即为图
7-2中虚线以内部分的总电量?〕。
2k?r⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E =
⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ 2．计算电势的公式 （1）点电荷电场的电势
若取无穷远处（r =∞）的电势为零，则U?kQ。 r式中Q为场源电荷的电量，r为场点到点电荷的距离。
（2）半径为R、电量为Q的均匀带电球面的在距球心r处的电势 U?kQQ （r≥R）, U?k （r＜R） rR3．电介质的极化
（1）电介质的极化 把一块电介质放在电场中，跟电场垂直的介质的两个端面上将出现等量异号的不能自由移动的电荷（极化电荷），
1
2012级竞赛辅导 chxsh69@163.com 叫做电介质的极化。
（2）电介质的介电常数 电介质的性质用相对介电常数εr来表示。 一个点电荷Q放在均匀的无限大（指充满电场所在的空间）介质中时，与电荷接触的介质表面将出现异号的极化电荷q′（q????r?1，使空间各点的电场强度（E）比无介质时单独由QQ）?r产生的电场强度（E0）小εr倍，即E0/E=εr。故点电荷在无限大的均匀介质中的场强和电势分别为 E?4．电容器 （1）电容器的电容
充满均匀电介质的平行板电容器的电容 C?推论：C?4?k(Sd2kQkQ，。 U??rr?rr2?rSS或C?。 4?kd4?k(d/?r)d1?1??2???dn。
)?n平行板电容器中中插入厚度为d1的金属板 C?（2）电容器的联接 串联：
?S4?k(d?d1)。
1111?????；并联：C?C1?C2???Cn。 CC1C2Cn（3）电容器的能量
E?Q0U0?CU02。
2
12122012级竞赛辅导 chxsh69@163.com 【典型例题】
题型一、场强和电场力
【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。
【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的平面。
〖思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？
〖推荐解法〗将半球面看成4个1球面，每个1球面在x、y、z三个
88方向上分量均为1 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的
4分量，因此ΣE = ΣEx ?
〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。
【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO?= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。 【答案】恒为4kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强
3电场。
〖思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？ 〖答〗πkρq〔
3
43R3b2?
R?3(b?a)2〕。
2012级竞赛辅导 chxsh69@163.com 题型二、电势、电量与电场力的功
【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。 【答案】UP =
2?k?RR?r22
〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？
〖答〗UP =
kQR?r22 ；结论不会改变。
〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？
〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为kQ ；（2）球心电势仍
R为kQ ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内
R部不再是等势体，球面不再是等势面）。 【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。
QQ?q【答案】Uo = kQ － k + k 。 rR1R2 4