发布时间 : 星期六 文章高中数学第一章1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义学案含解析新人教A版必修0更新完毕开始阅读
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时 三角函数的定义
任意角的三角函数的定义 [提出问题]
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
yxy提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
rrx问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：否．
问题3：若|OP|＝1，则P点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？ 提示：P点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的单位圆，即P点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便．
[导入新知]
1．任意角三角函数的定义
(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，
y)，那么y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；yy叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0). xx
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
2．三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．
[化解疑难]
对三角函数定义的理解
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围． (3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.
三角函数值的符号 [提出问题]
问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0. 问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？ 提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0.
问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？ 提示：相等．因为它们的终边重合．
问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？ 提示：不存在． [导入新知]
1．三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α tan α 2．三角函数值的符号 定义域 R R ???π?α?α≠2＋kπ，k∈Z??? ??? ??马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
[化解疑难]
巧记三角函数值的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.
诱导公式一 [提出问题]
问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？
提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. [导入新知]
终边相同的角的同一三角函数的值
(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α， cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z. [化解疑难]
诱导公式一的结构特点
(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k·2π，右边角为α.
(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．
(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α，其中k∈Z.
三角函数的定义及应用 [例1] (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 12512
[解] (1)－ －
13135
(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝
－1
2
＋3
2
＝2，所以sin α＝
31
，cos α＝－，tan α＝－3； 22
2
在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝1＋1
α＝，tan α＝－3. 2
[类题通法]
利用三角函数的定义求值的策略
－3
2
3
＝2，所以sin α＝－，cos
2
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对
b应角的正弦值sin α＝2，余弦值cos α＝2，正切值tan α＝.
aa＋b2a＋b2
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[活学活用]
已知角α终边上一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 2
?－，a>0，?5
答案：2sin α＋cos α＝?2
??5，a<0
ba
三角函数值符号的运用 cos α[例2] (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
tan αA．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
马鸣风萧萧整理