发布时间 : 星期四 文章近世代数复习更新完毕开始阅读
7．全体可逆的 阶方阵的集合 的单位元是单位矩阵
()关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群
.
每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 8．
，
的逆矩阵
.
。那么H是S3的一个子群。
是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.
9．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：10． 设
是所有行列式等于1
的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群. 11．群 的任何两个子群的交集也是 的子群.
12． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 13．有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子. 14． 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则 (1) 如果 为
的单位元, 则
为
的单位元;
(2) 任给 , 为 的逆元, 即
15．如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 16． 设 为群 的子群. 若 , 那么 . 17． 设 , , 则 18．群 的任何两个正规子群的交还是 19设为环. 证明 20设与21．设
的中心
到
的满同态.如果是
的阶是
，其中
是群, 是
.
的正规子群.
是
的子环.
是
的正规子群.
的正规子群, 则
。
，的阶为，证明
22．设是循环群，G与同态，证明23． 证明循环群的子群也是循环群。
是循环群。
，又假定的阶是
，的阶是，
，
24． 假定和是一个群G的两个元，并且
证明：的阶是。
25．假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。
26．设是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作. 27、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的
变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 28．全体偶数 关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环. 29、设群G的每个元素x都适合方程x2= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。 30． 证明数集 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环. 31． 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设 , , 如果 , 或 , 则 .
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32、群G的两个子群的交集还是G的子群。
33． 证明 为域.
34、设R是阶大于1的交换环。证明：当R不含零因子时，R[x]亦然。
35． 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 36、若R环的特征为素数p,且R可交换,则有?a?b?p?ap?bb, ?a,b?R. 37． 如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。 38、求证：若a生成一个n阶循环群G，k与n互素，则ak也生成G。
39． 设 为 的非空子集. 证明: 为 的子环的充分必要条件时, 存在非负整数 , 使得
40、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环 。 五、计算题(共20分)
1.求出Klein四元群K4的所有子群.
2设按顺序排列的13张红心纸牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K经一次洗牌后牌的顺序变为3,K,8,A,4,10,Q,J,7,5,6,2,9问:再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的? 3．设 为整数加群, ,求 [Z:H]?? 4、找出S3，Z18的所有子群。。
5．试举例说明，环R?x?中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式. 6． 将
表为对换的乘积.
7.设A是实数集,规定A的元间的一个关系R如下:?a,b?A,aRb?ab?0.问R是A的元间的等价关系？
8.设Z6?{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是模6的剩余类环,且f(x),g(x)?Z6.如果f(x)?[3]x3?[5]x?[2],
g(x)?[4]x2?[5]x?[3],计算f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)g(x)以及它们的次数. 9． 在 Z6中, 计算:(1)
;(2)
; (3)
; (4)
.
10． 试求Z12中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 11、举例说明，非零因子的象可能会是零因子.。 12． 在 Z12中, 解下列线性方程组: 13．求 Z18的所有子环. 14、在
中, 求
的全部根.
1?-1?2??2 ?0 ?1 15、指出A??,B?，C???1 ??4 ?中哪些元素是给定的环M2(F)的零因子. 0 002??????16. 含有n(n为某个大于1的正整数)个元数集S关于普通加法和乘法是否作成一个环？ 17、设H?{(1),(12)},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集. 六 简答题（10分）
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1、等价关系 2、运算律 3、数环与环 4、数域与域 5、群的判定 6、环的判定
7、正规子群的判定 8、除环的判定 9、特殊映射的判定
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