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公司的投资问题
摘要
本文解决的主要问题是:公司如何利用自己有限的金融资金20亿，分别在不考虑投资风险和考虑投资风险的情况下进行高效合理的投资，使投资利润最大化风险最小化。
针对问题一，我们建立起单目标线性规划模型，利用lingo软件进行最优化求解(附录二)考虑投资风险的情况下5年末最大利润为17.41405亿元，具体投资方案见5.2中表一。
针对问题二，我们用时间序列模型和灰色预测模型分别对表2、表3的未来五年利润率进行了预测和比较。用最小二乘法在matlab中编程求解（见附录三、四、五）得到时间序列的结果（见6.2中表二、表三）和灰色预测的结果(见见6.2中表四、表五)。再建立起方差分析模型对两组结果进行了分析比较，时间序列模型的方差小于灰色预测模型，因此选用时间序列模型得到的风险损失率作为最终结果(见6.42中表六、表七)。
针对问题三，建立的是单目标线性规划模型，在问题一的基础上考虑了项目1的捐赠和项目5的固定可重复投资以及各项目之间的投资对利润率也会产生影响。利用lingo求解(附录六)得第五年末最大利润为32.5375亿元，具体投资方案见7.2中表八。
针对问题四，我们在问题三的基础上考虑了投资的风险。将风险和利润的双目标线性规划转变为单目标线性规划模型，lingo求解（见附录七）得5年末的利润31.46908亿元，具体投资方案见8.2中表九。
针对问题五，由于在问题四的条件下考虑到了银行的存贷款，我们上网查到当年银行的利率，建立单目标最优化模型lingo求解(见附录八)得5年末的利润为3.190736亿元，具体投资方案见9.2表十。
关键词:单目标最优化 灰色预测 时间序列 投资决策NPV
1问题重述
1.1问题背景
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
1.2需要解决的问题
一、公司财务分析人员给出一组实验数据（见附录一的表1）。
试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？ 二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附录1表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)
试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。
对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。
项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。 各投资项目的投资上限见附录1表4。
在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？
四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。
如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？
五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?
2模型的假设及符号说明
2.1模型假设
假设1:题目所给的数据都是真实可靠的
假设2:未来5年市场的投资环境稳定，没有突发事件 假设3:前一年的利润可以用于下一年的投资 假设4:银行年率不变，贷款和存款是逐年进行
假设5：每个项目的投资上限为当年的上限而不是在同一项目上累计投资的上限 2.2符号说明 符号 xij pj pij pijk R Sj Fj σj2 Ci Di Ti Hi 说明 xij表示第i年投资j项目上的资金(i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4,5,6,7) 投资j项目的利润率(j=1,2,3,4,5,6,7) i项目在与j项目同时投资时的利润率 i项目在与j、k项目同时投资时的利润率 中第5年年末的利润 项目j的投资上限 项目j的风险损失率 方差 每年的存款利率 每年的贷款率 每年向银行存款量（亿元） 每年向银行贷款量（亿元） 3问题分析
本文研究的是投资决策问题。要求对资金合理安排投资，获得最大的收益。 针对问题一：这是一个单目标多约束的最优化问题，我们可以通过建立单目标线性规划模型解决该问题。由于不考虑各项投资的风险，且总资金为20亿元，要使得第五年年末的利润最大，我们设定目标函数的思路为：用第四年末收回的本利作为投资资金，结合各项目的利率表示出第五年年末收回的本利，最后减去20亿元的总成本就得到了目标函数。对于每年各项投资资金的安排，则要符合下述两个方面的约束条件。
约束条件一为每个项目每年的投资额不能超过规定上限。
约束条件二为每年年初的投资总额不能超过上一年年末收回的本利总和。 针对问题二：问题二根据公司财务人员收集的8个项目近20年的投资额与到期利润数据，预测未来五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到
期利润率和风险损失率。对于预测问题，我们运用灰色预测与时间序列模型进行预测，再结合实际分析求解结果，选择更为优化合理的时间序列模型。
针对问题三，与问题一相同也是一个单目标多约束的最优化问题。其目标函数仍旧为问题一的目标函数。而各个项目的利润率和每年的投资上限都发生了变化。项目5的单笔投资额已经固定为500万且同一年可重复投资。同时，在考虑利润率时要注意问题二中两个项目之间相互影响的情况。所以，问题三的约束条件只是在问题一的条件上做了上述增加和改变。
针对问题四：问题四实质是在问题三的基础引入风险，在考虑风险的基础上获取最大收益。实质上考虑双目标规划的问题，即：风险最小，利润最大。为了便于求解我们在第三问的基础上减去一个风险值，化为单目标规划。
针对问题五：问题五考虑可以贷款或存款。贷款可以加大投资，存款可以减小风险，最总目标最求收益最大化。在问题四基础上我们通过修正，得到问题五的单目标规划。
4数据处理及分析
4.1投资时各项目的利润率
我们Excel中的统计工具计算出独立投资和共同投资的到期利润率制成表格（见附录九）通过Excel中的绘图工具将最近20年的利润率绘制成图如下
图一 独立投资时的利润率
20151050-5-10-15
1234567891011121314151617181920项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目8分析图一，独立投资时项目7的利润波动最大，利润高，风险也最大，其次是项目8。项目3和4利润率波动最小。