发布时间 : 星期五 文章2020版高考数学大一轮复习-第8节离散型随机变量的均值与方差讲义(理)(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
1x＝，??81511
又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得?
883
??y＝8.
D(ξ)＝?1－?×＋?2－?×＋?3－?×＝. 888
??
15?2
?
1?2?
15?
2
?
1?8?
15?2
?
355864
答案
55 64
7.(2019·杭州期末)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝______，方差D(ξ)的最大值为________. 解析 记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.
ξ P 数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
0 1－p 1 p 122
方差D(ξ)＝(0－p)×(1－p)＋(1－p)×p＝p(1－p)≤.
41
故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为. 41
答案 p 4
8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________. 解析 随机变量X的取值为0，1，2，4， C3C3＋C3C3＋C3C33
则P(X＝0)＝＝， 11
C6C64
C2C21C2C1＋C1C21
P(X＝1)＝11＝，P(X＝2)＝＝， 11
C6C69C6C69C2C214
P(X＝4)＝11＝，因此E(X)＝. C6C63694
答案
9三、解答题
9.(2019·天津和平区模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，……，第五组：[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.
1111
11
11
11
11
11
13
(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；
(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
解 (1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，
∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.
(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩. 由题意，X的可能取值为0，1，2， C3C42C3C44P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝，
C77C77C3C41
P(X＝2)＝2＝，
C77则X的分布列为
2002
11
X P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
27
47
1767
0 2 71 4 72 1 710.(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
14
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
所以X的分布列为 X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
15
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( ) 8A. 5
6B. 5
4C. 5
2D. 5
解析 由题意，X～B?5，
??
3?， m＋3??
5×3
又E(X)＝＝3，∴m＝2，
m＋3
3?3?6?3?则X～B?5，?，故D(X)＝5××?1－?＝. 5?5?5?5?答案 B
12.(2019·潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投2
中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是
3( ) A.3
8B. 3
C.2
5D. 3
81
解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，通不过的概率为.
99由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3， 1?1?则P(X＝0)＝??＝；
?9?729
89
3
P(X＝1)＝C13××??＝
9
2
?1???
2
24； 729
?8?×1＝192；
P(X＝2)＝C2×3?9?9729
??
P(X＝3)＝
512. 729
∴随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 16