发布时间 : 星期五 文章2020版高考数学大一轮复习-第8节离散型随机变量的均值与方差讲义(理)(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读
【训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互111
独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
234
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝?1－?×?1－?×?1－?＝，
234
??
1??
??
1????
1?1?41?
P(X＝1)＝×?1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝，
342423
1?
2?
1????
1??
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1?3?
1????
1??
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1?
?
111424
P(X＝2)＝?1－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝，
234P(X＝3)＝××＝. 所以，随机变量X的分布列为 1123
11424
??
1?1?311?42?1?111??423?1?1?4
X P 0 1 41 11 242 1 43 1 241111113
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 42442412
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) 11111111
＝×＋×＝. 42424448
11
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
48考点二 二项分布的均值与方差
【例2】 (2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.
5
(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；
(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值. 解 (1)∵前四组频数成等差数列， 频率
∴所对应的也成等差数列，
组距
设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 0.8－0.7
应规定w＝2.5＋≈2.83.
0.3
(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P(A≤2.5)＝0.7， 由题意，X～B(3，0.7)，
3
P(X＝0)＝C03×0.3＝0.027， 2P(X＝1)＝C13×0.3×0.7＝0.189， 2P(X＝2)＝C23×0.3×0.7＝0.441， 3P(X＝3)＝C33×0.7＝0.343，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 6
P 0.027 0.189 0.441 0.343 ∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1. 规律方法 二项分布的均值与方差.
(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【训练2】 (2019·湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量(g) 数量(只) [5，15) 6 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55] 10 12 8 4 (1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.
解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为 1
(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50)＝28.5(g)， 40
所以购进500 kg生蚝，其数量为500 000÷28.5≈17 544(只). 2
(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25)间的概率为，
5由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝??＝
5
1
?3???
4
81， 625
3
?2??3?＝216，
P(X＝1)＝C14?????5??5?625
P(X＝2)＝C2， 4????＝
?5??5?625P(X＝3)＝C3， 4????＝
?5??5?625
?2??3?3
22
216
?2??3?1
96
7
P(X＝4)＝??＝
5
?2???
4
16， 625
∴X的分布列为
X P 0 81 6251 216 6252 216 6253 96 6254 16 6258121696168
∴E(X)＝0×＋×3＋×3＋×4＝. 6256256256255考点三 均值与方差在决策问题中的应用
【例3】 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，72
且这两种情况发生的概率分别为和；
99
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也311
可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
5315
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为
X1 P 300 7 9－150 2 972
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).
99若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为：
X2 P 500 3 5－300 1 30 1 15311
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
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D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.