发布时间 : 星期六 文章最新2018-2019年中考数学一模试卷含答案解析更新完毕开始阅读
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上一点,以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)∵OA=1,OB=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0). 代入y=﹣x2+bx+c,得解得 b=2,c=3.
∴抛物线对应二次函数的表达式为: y=﹣x2+2x+3;
(2)如图,设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA,作CF⊥DQ于点F. ∴PE⊥CD,PE=PA. 由y=﹣x2+2x+3,得
对称轴为直线x=1,C(0,3)、D(1,4). ∴DF=4﹣3=1,CF=1, ∴DF=CF,
∴△DCF为等腰直角三角形. ∴∠CDF=45°, ∴∠EDP=∠EPD=45°, ∴DE=EP,
∴△DEP为等腰三角形. 设P(1,m),
∴EP2=(4﹣m)2. 在△APQ中,∠PQA=90°,
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2 ∴(4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2. 整理,得m2+8m﹣8=0 解得,m=﹣4±2
.
)或(1,﹣4﹣2
).
∴点P的坐标为(1,﹣4+2
(3)存在点M,使得△DCM∽△BQC 如图,连结CQ、CB、CM, ∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°, ∴△COB为等腰直角三角形, ∴∠CBQ=45°,BC=3
.
,
由(2)可知,∠CDM=45°,CD=∴∠CBQ=∠CDM.
∴△DCM∽△BQC分两种情况. 当∴
==时,
,解得 DM=.
.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣=∴M1(1,当∴
=
).
时,
,解得 DM=3.
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1. ∴M2(1,1).
综上,点M的坐标为(1,
)或(1,1).