发布时间 : 星期五 文章(优辅资源)黑龙江省大庆市四校高三上学期12月联考数学试卷(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读
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【分析】由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算，表示出函数的解析式，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，后两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数， （1）找出ω的值，代入周期公式T=
中，即可求出函数的最小正周期，再由余弦函数
的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得出函数的递减区间；
（2）①由f（A）=2，将x=A代入得到cos（2A﹣A的范围，进而确定出2A﹣
）的值，由A为三角形的内角，得到
的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
②由三角形的面积公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性质即可得解．
【解答】解：∵=（2cosx，1），=（cosx， sin2x），
=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x ∴f（x）==1+2（cos2x+（1）∵ω=2，∴T=令2kπ≤2x﹣
sin2x）=1+2cos（2x﹣
=π，
≤x≤kπ+]，k∈Z；
，k∈Z，
），
≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+
，kπ+
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+（2）①∵f（A）=2， ∴1+2cos（2A﹣∴cos（2A﹣
）=2，
）=，
∵A∈（0，π）， ∴2A﹣∴2A﹣则A=
∈（﹣=．
=bcsinA=
，
，
，
），
②∵b=1，△ABC的面积为∴c=2， ∴a=
=
=，
∴
===2．
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21．设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若函数
，讨论g（x）的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：
，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有
参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b 又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0， 从而b=0，
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2， 即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0
（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数
（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，
，K=1时，g（x）在
R上为增函数
（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根
当当为减函数 当
时，g'（x）＞0，故g（x）在
上为增函数
是g'（x）＞0，故g（x）在
时，g'（x）＜0，故g（x）在
上为增函数
上
22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
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【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=
（x∈[1，e]），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，
即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞）， f′（x）=+2x=
，
当x∈[1，e]时，2x2∈[2，2e2]，
若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0）， 故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1； 若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜令f′（x）＞0，解得∴f（x）min=f（
）=
，此时f（x）单调递减；
＜x≤e，此时f（x）单调递增，
；
若a≤﹣2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0）， 故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2， 综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1； 当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=
，相应的x=
；
当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；
（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0， 因而a≥
，x∈[1，e]，令g（x）=
（x∈[1，e]），
则g′（x）=，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数， 故g（x）min=g（1）=﹣1，
∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
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2016年12月9日
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