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第十二章 变化的电磁场
εi?E?dl??L?dΦdB ??πr2dtdtdB dtE?2πr??πr2所以r处感应电场的大小为
??? c ? ? ? ? R ? ?O ? ? r B ? ? a? ? ? ? ? rdB?2.5?10?4N?C?1 2dt图12.29 习题 12.14图
方向为顺时针方向。
故电子在o点的加速度ao=0。 电子在a， c两点的加速度大小相等，均为
aa?ac?FeE??4.4?107m?s?2 mm其中a点加速度向右，c点加速度向左。
12.15 无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，ab为其分界面，半环电阻分别为R1和R2，如图所示图中螺线管垂直纸面放置。当螺线管内部磁感应强度B增大时，分别就(1)R1?R2；(2) R1?R2 ；(3) R1?R2三种情况讨论a、b两点电势的高低。
解：当螺线管内部磁感应强度增大时，在金属环内产生涡旋电场，其电场线为沿逆时针方向的圆。
由??Ek?dl??动势为
a
R1 ? ? ? ? R2
??B??t?dS可知，整个金属圆环产生感应电
b
图12.30 习题12.15图
ε?πr2dB dtR1 a
R2
πr2dB?r2dB左半圆电动势ε1?，右半圆电动势?2?，由基尔霍
2dt2dt夫电压定律
Uab?ε1?IR2?εε?R22R1?R2ε2 ε1 b
习题12-15解图
ε(R1?R2)?2(R1?R2)
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第十二章 变化的电磁场
讨论：(1)R1= R2， Ua= Ub，两端电势相等。
(2) R1> R2，Ua> Ub，a端电势高。 (3) R1 12.16 有一圆环，环管横截面的半径为a，中心线的半径为R，R??a。有两个彼此绝缘的导线圈都均匀地密绕在环上，一个N1匝，另一个N2匝，求: (1) 两线圈的自感L1和L2; (2) 两线圈的互感M; (3) M与L1和L2的关系。 12.17. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为a的圆柱面，中间是边长为l，间隔为d的两正方形平面，且l??a， 图12.31 习题12.17图 a??d.（1）试求该回路的自感系数；（2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场B?B0?kt，试求 回路中的电流I(t).（回路中的电阻很小，可忽略不计） 解：（1） B?μ0nI?μ0I l1B21B222 W?wV?2??πRl??ld 2μ02μ0μ0I21πR2?μ0I2d ?l2根据 W?12LI 22μ0πR2?μ0d L?l（2）ε?LdIdΦ? dΦ?S?dB dtdtS2πR2?ldlktkt? I??kdt? 2Lμ2μ0πR0?μ0dl12.18 截面为圆的长直铜导线中，通有强度为I的电流，电流均匀地分布在横截面上。求： (1) 导线内部单位长度上的磁能； (2) 若I?10A，计算2m长导线内的磁能。 解：(1)导线内，离轴为r处的磁感应强度为 B?μ0Ir 2πR2式中，R代表导线的半径，铜的相对磁导率μR=1，因此在铜导线内部的磁能密度为 第 14 页 第十二章 变化的电磁场 22IB21μ0wm??r2 242μ02μ04πR导线内单位长度上的总磁能为 μ0I22μ0I2W?r?2πRdr?8π2R44πR4??R0μ0I2rdr? 16π3(2) W?2?10?7?1?102?5.0?10?6J 412.19 一长铜导线载有I?10A的电流，电流均匀地分布在横截面上，若铜导线的直径 d?2.54mm，每单位长度的电阻为3.28?10?3??m?1。求： (1) 导线表面处的磁能密度； (2) 导线表面处的电能密度。 解：(1)按上题的结果，在导线内的磁能密度为 μ0I22wm?24r 8πR在导线的表面处，其磁能密度为 μ0I2??22?0.99J/m3 wm8πR(2)由微分形式的欧姆定律有 j?E/ρ 故 E?jρ?Iρ?R?I 2πR其中 R??3.28?10?3Ω/m 电能密度为 we? 12.20 如图所示，一匝边长为a的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。 (1) 当二者之间的最近距离为b时，互感系数M为多少？线圈受力F为多少？ (2) 若维持I1及I2不变而线圈向左移动，由b减至b2的过程中磁力做功A为多少？磁能增量ΔW为多少？ A B 12εE?4.8?10?15J/m3 2I1 b I2 D a C 解：(1)在线圈平面上，距长直导线x处，取宽为dx、长为a且与长直导线平行的面积元(习题13-18解图)。在面积元上，磁感应强 图12.32 习题12.20图 第 15 页 第十二章 变化的电磁场 度 B?方向垂直纸面向内。磁通量 μ0I1 2πxdΦ?BdS?通过线圈的磁通量 μ0I1adx 2πxΦ?dΦ???a?bbμ0I1aμIaa?b dx?01ln2πx2πb因此，长直导线与线圈的互感系数 M?Φμ0aa?b?ln I12πbAB、AC两边受磁力作用，但它们等值反向，互相抵消，线圈所受合力为 F?FAD?FBC?I2aB1?I2aB2?μ0I1I2aμIIaμIIa11 ?012?012(?)2πb2π(a?b)2πba?b方向垂直并指向长直导线。 A I1 b I2 B A I1 b x I2 dx a B D a C D C 习题12-18 习题12-18解图 (2)当线圈与长直导线相距为x时，线圈受力 F?μ0I1I2a11(?) 2πbxx?a线圈向左移动到x=b/2时，磁力作的功 第 16 页