发布时间 : 星期二 文章高考数学坐标系与参数方程更新完毕开始阅读
在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为 (φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin =m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l
π
经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 . 答案
18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为 (t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 . 答案 ρcos θ+ρsin θ=2
19.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
将圆x+y=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得
由 + =1得x+ =1,即曲线C的方程为x+=1. 2
2
2
2
故C的参数方程为 (t为参数). (2)由 解得 或
-
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为 ,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1= - , 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=
. -
20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程
为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
22
解析 (1)将 消去参数t,化为普通方程(x-4)+(y-5)=25,
即C1:x+y-8x-10y+16=0.
22将 代入x+y-8x-10y+16=0得
2
2
ρ-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程为x+y-2y=0. - - 由 - 解得 或
所以C1与C2交点的极坐标分别为 , . 21.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos - =2 .
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 解析 (1)圆C1的直角坐标方程为x+(y-2)=4, 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0. - 解 得
-
所以C1与C2交点的极坐标为 , .(6分) 注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
y=x-+1,所以
-
π
π
2
2
2
22
2
π π π
∈R为参数),求a,b的值. (t
由参数方程可得
解得a=-1,b=2.(10分)
考点二 参数方程
-
(t为参数),曲线C的参数方程为1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为
(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值. 解析 直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,设P(2s,2 s), 从而点P到直线l的距离d= - - =. - 2
当s= 时,dmin=
.
.
因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值
2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的
正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 解析 (1)C1的普通方程为+y=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)
(2)由题意,可设点P的直角坐标为( cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= - =
π
2
π
=2 .
- .(8分)
π
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为 .(10分) 3.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标
方程为ρ=2 sin θ. (1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 解析 (1)由ρ=2 sin θ,得ρ=2 ρsin θ, 从而有x+y=2 y, 所以x+(y- )=3. (2)设P
2
2
2
2
2
,又C(0, ),
则|PC|= - = ,
故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P点的直角坐标为(3,0).
4.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C:+=1,直线l:
(t为参数).
-
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解析 (1)曲线C的参数方程为 (θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为 d=|4cos θ+3sin θ-6|.
则|PA|=
|5sin(θ
°
=+α)-6|,
其中α为锐角,且tan α=. . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为
.
5.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解析 (1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的轨迹的参数方程为
(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离d= = (0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
教师用书专用(6—13)
- 6.(2014北京,3,5分)曲线 (θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 答案 B
7.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,
D.在直线y=x+1上
则C1与C2交点的直角坐标为 . 答案 ( ,1)
为参数)过椭圆C: (φ为参数)的右顶点,则常数8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l: (t
- a的值为 . 答案 3