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v240所以t?1s时的曲率半径为R???21m
an1.91 50 题号：01050 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
???试题: 一质点在平面上作曲线运动，t1时刻位置矢量为r1??2i?6j，t2时刻的位置矢量为
???r2?2i?4j，求：（1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式；（2）该段时间内位移的大小
???和方向；（3）在坐标图上画出r1，r2及?r．（题中r以m计，t以s计） 答案: （1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式为
??y ????r?r?r?(4i?2j)m
21（2）该段时间内位移的大小为
??r?42?(?2)2?25m
?r1 该段时间内位移的方向与x轴的夹角为
??2?0??tan?1????26.6
?4?x o（3）坐标图上的表示如图．
51 题号：01051 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 某质点作直线运动，其运动方程为x?1?4t?t2，其中x以m计，t以s计．求：（1）第三秒末质点的位置；（2）头三秒内的位移大小；（3）头三秒内经过的路程． 答案: （1）第三秒末质点的位置为x(3)?1?4?3?32?4m
（2）头三秒内的位移大小为x(3)?x(0)?3m
dx（3）因为质点作反向运动时有v(t)?0，所以令?0，即4?2t?0，t?2s，因此头
dt三秒内经过的路程为x(3)?x(2)?x(2)?x(0)?4?5?5?1?5m
??r?r2 52 题号：01052 第01章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 已知某质点的运动方程为x?2t,y?2?t2，式中t以s计，x和y以m计．（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s末和2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度．
答案: （1）由质点运动的参数方程x?2t,y?2?t2消去时间参数t得质点的运动轨迹为
x2y?2?,(x?0)
4y 运动轨迹如图所示．
(0,2) （2）根据题意可得质点的位置矢量为
???2r?(2t)i?(2?t)j
所以t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度为
?????r??r(2)?r(1)v???2i?3j(m?s?1) o?t2?1(22,0)（3）由位置矢量求导可得质点的速度为
??????2iv?r?(2t)j
???????1所以1s末和2s末质点的速度分别为v(1)?2i?2j(m?s)和v(2)?2i?4j(m?s?1)．
?????2?j （4）由速度求导可得质点的加速度为a?v???所以1s末和2s末质点的加速度为a(1)?a(2)??2j(m?s-2)
x
53 题号：01053 第01章 题型：计算题 难易程度：适中 试题: 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸如图所示．设绳子的原长为l0，人以匀速
l0v0 H ?v0拉绳，试描述小船的运动．
答案: 建立坐标系如图所示．按题意，初始时刻（t?0），滑轮至小船的绳长为l0，在此后某时刻t，绳长减小到l0?v0t，此时刻船的位置为
x??l0?v0t?2?H2
v0这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为
?l0?v0t?v0vdxv?????0
dtcos??l?vt?2?H200 l0 oH 将其对时间再求导可得小船的加速度为
22v0H2v0H2dva????? 33dt2x?l?vt??H2x ? ?00?其中负号说明了小船沿x轴的负向（即向岸靠拢的方向）作变加速直线运动，离岸越近（x越小），加速度的绝对值越大．
54 题号：01054 第01章 题型：计算题 难易程度：容易
试题: 大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布．这种鱼跃出水面的速度可达32km?h?1．它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？
答案: 鱼跃出水面的速度为v?32km?h?1?8.89m?s?1，若竖直跃出水面，则跃出
v2h??4.03m
2g此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人所跳高度的两倍．
55 题号：01055 第01章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 一人站在山坡上，山坡与水平面成?角，他扔出一个初速为v0的小石子，v0与水平面成?角（向上）如题图所示．（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点
22vsin(???)cos???为S处，有S?0．（2）由此证明对于给定的和值时S在v???时?0gcos2?422v0(sin??1)有最大值Smax?.
gcos2??答案: （1）建立如题图所示的坐标系，则小石子v0 的运动方程为 y ? ?x??v0cos??t??ov0?12 S ?y??v0sin??t?2gt? ? ? x当小石子落在山坡上时，有 o?x?Scos?S ? ?y??Ssin?? 联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞
行的时间（即从抛出到落在山坡上时所经历的时间）t所满足的方程为
t2?2v0(sin??tan?cos?)t?0 g解之得
2v0(sin??tan?cos?) gt?0是不可能的，因t?0时小石子刚要抛出．所以小石子落在山坡上的距离为
?v0cos??t2v02sin(???)cos?xS???
cos?cos?gcos2?t?（2）给定v0和?值时，有S?S(?)，求S的最大值，可令
22v0cos(2???)dS?0，即 d??0
gcos2???亦即 ???
422d2Sv0(sin??1)此时，所以S有最大值，且最大值为?0S?. maxgcos2?d?2 56 题号：01056 第01章 题型：计算题 难易程度：难
试题: 一人扔石子的最大出手速度为v0?25m?s?1．他能击中一个与他的手水平距离为L?50m，高为h?13m处的一目标吗？在这个距离上他能击中的最大高度是多少？ 答案: 设抛射角为?, 则已知条件如图所示, 于是石子的运动方程为
?x??v0cos??ty ??12
??y?vsin?t?gt0??2可得石子的轨迹方程为
gx2 y?xtan??222v0cos??v0(L,h)假若石子在给定距离上能够击中目标，可令x?L
gL2此时有 ，y?Ltan??22v0cos2?gL2y??2t2v02o ? x
即
?a?LntgL2?a?n2
2v02v0d2ydy?0，即在给定已知若以tan?为函数，令，此时?0，有tan??gLd(tan?)d(tan?)2条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为ymax?12.3m，故在给定距离上他不能击中h?13m高度处的目标．
57 题号：01057 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
????试题: 如果把两个物体A和B分别以初速度v0A和v0B抛出去．v0A与水平面的夹角为?，v0B与水平面的夹角为?，试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量．
答案: 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内作上抛运动，如图所示．则两个物体的速度分别为
?????vA??v0Acos??i??v0Asin??gt?j?? ??y ?????v?vcos?i?vsin??gtj0B0B?B?所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度
v0B为 ????v0AvB?vA??v0Bcos??v0Acos??i ??x o? ??v0Bsin??v0Asin??j是一与时间无关的常矢量．
58 题号：01058 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度．若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为?tA，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为?tB，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小．
答案: 设抛出物体的初速度为v0，抛射角为?，建立如图所示的坐标系，则
12???h?vsin?t?gtAA0A??2 ??h??vsin??t?1gt2B0BB?2?y hBhA所以
2hA?22v0sin?t?t??0AA?gg? ?2vsin?2h?t2?0tB?B?0B?gg? ? v0 h ? ox 于是有
???tA?(tA1?tA2)2?4tA1tA2????2??tB?(tB1?tB2)?4tB1tB2??此二式平方相减可得
8(h?hA)8hg?2B?． 222?tA??tB?tA??tB24v0sin2?g24vsin?g2202??8hAg8hBg
注意此方法也是实验测量重力加速度的一种方法．
59 题号：01059 第01章 题型：计算题 难易程度：容易
试题: 一质点从静止出发沿半径为R=1m的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是??12t2?6（tSI），试求质点的角速度和切向加速度的大小．
答案: 因为??12t2?6t，所以d???12t2?6t?dt，于是有?d????12t2?6t?dt，
?t00故质点的角速度的大小为??4t3?3t2，切向加速度的大小为，a??R??12t2?6t．
60 题号：01060 第01章 题型：计算题 难易程度：适中 试题: 一质点作圆周运动的方程为??2t?4t2（?以rad计，t以s计）．在t?0时开始逆时针旋转，问：（1）t?0.5s时，质点以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置?等于多大？
答案: （1）因质点作圆运动角速度方向改变瞬时，
d????0，即2?8t?0，t?0.25s
dt所以t?0.5s时，质点将开始以顺时针方向转动．
（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置为 ?(0.25)?2?0.25?4?(0.25)2?0.25rad
61 题号：01061 第01章 题型：计算题 难易程度：较难
试题: 质点从静止出发沿半径R=3m的圆周作匀变速运动，切向加速度a??3m?s?2．问：
（1）经过多少时间后质点的总加速度恰好与半径成45o角？（2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少？
vtdv答案: 因为a???3，所以dv?3dt，即?dv??3dt故质点作圆运动的瞬时速率为
00dt2v2?3t???3t2其方向恒指向圆心．于是总加速度v?3t．质点的法向加速度的大小为an?R3??????2?为a?an?a??3tn?3?，其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，?为切向单位矢量．
?（1）设总加速度a与半径的夹角为?，如图所示，则
asin??a?，acos??an
???ano? ?a?
?a ?当??450时有an?a?，即3t2?3，t?1（负根舍去），所以t?1s时，a与半径成450角．
s1ds（2）因为?v?3t，所以?ds??(3t)dt
00dts1.5故在这段时间内质点所经过的路程为s?1.5m，角位移为?????0.5rad．
R3 62 题号：01062 第01章 题型：计算题 难易程度：适中
试题: 汽车在半径为R?400m的圆弧弯道上减速行驶．设某一时刻，汽车的速率为
切向加速度的大小为a??0.2m?s?2．求汽车的法向加速度和总加速度的大小和v?10m?s?1，
方向．
答案: 已知条件如图所示．汽车的法向加速度为
?v v2102?2an???0.25m?s
R400? ?汽车的总加速度为 ?a?a?a???0.25???0.2??0.32m?s
???????所以a?an?a??0.25n?(?0.2)?(m?s?2)，故加速度a与v的
2n222?2ana?o夹角为
?a ??tan?1???an?0.25?0??tan?1??12840? ???a?0.2?????