发布时间 : 星期二 文章高中数学知识点总结(史上最全)-高中数学4-4的知识点总结更新完毕开始阅读
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义 ①若ax?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，
N
叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)．
（2）几个重要的对数恒等式
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）．
?0,a?1,M?0,N?0，那么
M?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N
MN
③数乘：nloga⑤logabMn?nlogbNlogaM(b?0,n?R) ⑥换底公式：logaN?(b?0,且b?1) blogba【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数 函数 名称 定义 函数对数函数 y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 0?a?1 1x? a?1 y图象 x? 1y?logaxyy?logax(1,0) O(1,0)xOx定义域 值域 (0,??) R 9
过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是增函数 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念
设函数果对于子x在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如y?f(x)的定义域为A，
y在C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式
??(y)表示x是y的函数，函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)，
习惯上改写成
y?f?1(x)．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xy?f(x)中反解出x?f?1(y)；
?f?1(y)改写成y?f?1(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质 ①原函数
②函数
y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称．
y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域．
y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上．
③若P(a,b)在原函数④一般地，函数
y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数
y?x?叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数．
10 （2）幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶
函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数
的图象在(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
?q（其中p,q互pqp④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当?qp质，p和q?Z），若是偶函数，若
p为奇数q为奇数时，则y?xqp是奇函数，若
p为奇数q为偶数时，则y?xp为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数
y?x?,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若
x?1，其图象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，
其图象在直线
y?x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：
f(x)?ax2?bx?c(a?0)②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0)③两根式：
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性质 ①二次函数
f(x)更方便．
f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)．
2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?；当abbb]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2a时，
4ac?b2fmin(x)?4a
?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?11
bb]上递增，在[?,??)上2a2a
4ac?b2b递减，当x??时，fmax(x)?2a4a③二次函数
．
f(x)?ax2?bx?c(a?0)当??b2?4ac?0时，图象与x轴有两个交点
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|?（4）一元二次方程ax2?． |a|?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令
b2a
从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x??f(x)?ax2?bx?c，
③判别式：? ④端点函数值符号． ①k＜x1≤x2 ?
yf(k)?0?ya?0x??b2aOkx1x??②x1≤x2＜k ?
kx2b2aOx?x1x2xa?0
f(k)?0
ya?0Oyf(k)?0?x??Ob2ax1x2kxb2akx2?x1a?0
xx??f(k)?0
③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0
ya?0y?f(k)?0x2xa?0Ok?x1x2xx1Okf(k)?0
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