发布时间 : 星期三 文章高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修更新完毕开始阅读
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1．1.2 瞬时变化率——导数
如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．
曲线上一点处的切线
问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？ 提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置． 问题2：割线PPn斜率是什么？ 提示：割线PPn的斜率是kn＝
fxn－fx0
.
xn－x0
问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？ 提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率． 问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？ 提示：能．
1．割线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线． 2．切线
随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线.
瞬时速度与瞬时加速度 马鸣风萧萧整理
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一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？
8－31＋Δt2－8＋3×12
提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－6－3Δ
Δtt.
问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？ 提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.
1．平均速度
运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率
St0＋Δt－St0
Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
3．瞬时加速度
vt0＋Δt－vt0
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值
Δy＝Δx导 数 fx0＋Δx－fx0
无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函
Δx数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
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2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 3．导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．
(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．
[对应学生用书P5]
求曲线上某一点处的切线 1?5?
[例1] 已知曲线y＝x＋上的一点A?2，?，用切线斜率定义求：
x?2?(1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程． [思路点拨] 先计算
f2＋Δx－f2
，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．
Δx1－Δx?1?
[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－?2＋?＝＋Δx，
2＋Δx?2?22＋ΔxΔy－ΔxΔx－1∴＝＋＝＋1. Δx2Δx2＋ΔxΔx22＋ΔxΔy3当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，
Δx43
即点A处的切线的斜率是. 4
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(2)切线方程为y－＝(x－2)，
24即3x－4y＋4＝0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切Δy线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
Δx
5?12?
1．曲线y＝－x－2在点P?1，－?处的切线的斜率为________．
2?2?5?1??
解析：设P?1，－?，Q?1＋Δx，－1＋Δx2?2??1
－1＋Δx2
Δx2
2
－2?，则割线PQ的斜率为kPQ＝
??
5－2＋
21
＝－Δx－1.
2
5?1?
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－x2－2在点P?1，－?处的
2?2?切线的斜率为－1.
答案：－1
2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________．
fx0＋Δx－fx02Δx解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝
x0＋Δx－x0
＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3， 所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)
2
＋4x0Δx＋4Δx＝4x0＋4
Δx3．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))， 31＋Δx则kAB＝2
－
1＋Δx－Δx3×12－1
＝5＋3Δx，
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