发布时间 : 星期三 文章高中数学难点突破 - 难点28 - - 求空间距离更新完毕开始阅读
难点28 关于求空间距离
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.
●难点磁场
(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.
求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. ●案例探究
［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：
(1)EF的长；
(2)折起后∠EOF的大小.
命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.
知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.
错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.
技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以
OB、OC、OD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最
为简单.
解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－
2222222a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,－a, a),F(a, a,0) 222244422222233a?0)2?(a?a)?(0?a)?a,?EF?a4444422222(2)OE?(0,?a,a),OF?(a,a,0)4444
2222a2OE?OF?0?a?(?a)(a)?a?0??44448(1)|EF|2?(|OE|?aaOE?OF1,|OF|?,cos?OE,OF????222|OE||OF|∴∠EOF=120°
［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.
命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.
知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.
技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.
解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1
与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.
连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O ∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D
∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O 作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C
∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离. 在Rt△OO1B1中，∵O1B1=∴O1G=
2622，OO1=1，∴OB1=OO1?O1B1= 223O1O?O1B13，即异面直线A1C1与AB1间距离为. ?3OB13解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，
∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1
∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x ∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°， ∴MR=x,RN=NB1=
2(1?x) 21?MN?MR2?RN2?x2?(1?x)2?2∴当x=
311(x?)2?(0＜x＜1) 233331时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.
333●锦囊妙记
空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.
(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.
求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.
求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为
1，那么点M到直线EF的距离为( ) 2
231 B.1 C. D. 2222.(★★★★)三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1
与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )
A.A.10
B.11
C.2.6
D.2.4
二、填空题
3.(★★★★)如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________.
4.(★★★★)如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为 30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________.
三、解答题
5.(★★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：
(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B1到平面A1BC1的距离.
6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求：
(1)截面EAC的面积；
(2)异面直线A1B1与AC之间的距离； (3)三棱锥B1—EAC的体积.
7.(★★★★)如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等. 8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=arccos
?2,AB=
1AD=a, 325,PA⊥面ABCD且PA=a. 5
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为
参考答案
难点磁场
解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足
6. 3