发布时间 : 星期一 文章圆周率π的计算及简单应用更新完毕开始阅读
(8)
将(9)式代入(8)式
即
(9)
其中
由式(9)可知Wm>0且有上限，而
说明Wm随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得其值
Wallis公式得证。
例二 显然Wallis公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提高计算机计算效率。在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：
在(4)式中，实际上令x?cos?，则有dx?sin?d?.式(4)变为
如果令x?sin?，则只变换形式不影响结果。可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。令
(10)
注意这里的积分上限改成了?/4，因为?/2????/4的时候
tan??1，将导致积分发散。
对(10)式做变换
于是有关系式
(11)
而初值T0??/4，观察规律有
... 总结规律得
(12)
其中m?1,2,3...而从式(10)中可知
结合(12)式，得到
(13)
或者
(14)
显然利用这种方法在形式上要比利用Wallis简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。
例三 椭圆积分法
椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。他在1914年“模方程和?的逼近”一文中，给出了14个计算?的公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和?的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM”）
22?(4n)!1103?26390n?[]?()。 ?44n?9801n?0(n!)3961 用“LM”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM”的一个有趣的“变种”是
1??22?(1/4)n(1/2)n(3/4)n1103?26390n?()， 34n?2(n!)99n?0?这里(cn)是递增阶乘，即(cn)?c(c?1)(c?2)...(c?n?1)。
不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。
只取“LM”的前两项就有
1??22(4?0)!1103?26390?022(4?1)!1103?26390?1?[]?()??[]?()， 44?044?19801(0!)3969801(1!)396