发布时间 : 星期日 文章备考2018年中考数学一轮基础复习：专题二十七 探索规律问题更新完毕开始阅读
22.问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？
问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简 单的问题：
n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线 最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1 个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共 会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2 个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总 共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点， 这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到 1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
(1)、请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个 部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
(2)、根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成 个部分．
问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空 间分割成多少个部分？
首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最 多可以把空间分割成2个部分；
空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1 条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得 到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分； 空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2 条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得 到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分； 空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3 条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得 到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分； 空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4 条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会 得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部 分；…
(3)、请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个 部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
(4)、根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成 个部分； (5)、设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n﹣1个平面最多可以把空 间分割成Sn﹣1个部分，前面的递推规律可以用Sn﹣1和n的代数式表示Sn；这个等 式是Sn= +
23.（2017?内江）观察下列等式： 第一个等式：
．
第二个等式： 第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
(1)、请写出第六个等式：a6= = ；
； (2)、用含n的代数式表示第n个等式：an= =
（得出最简结果）； (3)、a1+a2+a3+a4+a5+a6=
(4)、计算：a1+a2+…+an． +
24.（2017?云南）观察下列各个等式的规律： 第一个等式：
=1，第二个等式：
=2，第三个等式：
=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
(1)、直接写出第四个等式；
(2)、猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的． +
25.
问题提出：用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小长方形格子，小 长方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形 的面积为S，它各边上格点的个数和为x，多边形内部的格点数为n，S与x，n之 间是否存在一定的数量关系呢？
(1)、问题探究：
如图1，图中所示的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边 上格点的个数和的对应关系如下表，请填写下表并写出S与x之间的关系式S= ．
多边形的序号 多边形的面积S
① 2 4
② 2.5
③ 3
④ 4
… … …
各边上格点的个数和x
(2)、在图2中所示的格点多边形，这些多边形内部都有且只有2个格点．探究 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式S= ．
(3)、请继续探索，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S 与x，n之间的关系式S= （用含有字母x，n的代数式表示） (4)、问题拓展：
请在正三角形网格中的类似问题进行探究：在图3、4中正三角形网格中每个 小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为 格点多边形，图是该正三角形格点中的两个多边形． 根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边上格点多边形内部的格点多边形的面
积 的格点的个数 格点个数
多边形1（图3） 多边形2（图4）
8 7
1 3
8 11 … …
… …
… …
… …