发布时间 : 星期五 文章(优辅资源)上海市十四校联考高考数学模拟试卷(3月份) Word版含解析更新完毕开始阅读
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∴kOB=kOC，∴点B、O、C三点共线．
【点评】本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线角，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于中档题．
19．（2017?上海模拟）已知a∈R，函数f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax． （1）解关于x的不等式：f（x）≤g（x）；
（2）若不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立，求a的取值范围． 【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．
【分析】（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．然后分a＜﹣1，a=﹣1，a＞﹣1三类求解不等式的解集；
（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立?|x2+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，当a=0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；当a＞0时，分x∈（﹣∞，0]与x∈（0，+∞）分类分析；当﹣＜a＜0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax显然不成立；当a
时，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒
成立，则t（x）=x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．然后利用导数求解满足条件的a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．
当a＜﹣1时，解得0≤x≤﹣a﹣1．当a=﹣1时，解得x=0．当a＞﹣1时，解得﹣a﹣1≤x≤0．
∴当a＜﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[0，﹣a﹣1]； 当a=﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为{0}；
当a＞﹣1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[﹣a﹣1，0]．
（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立?|x2+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，
当a=0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立； 当a＞0时，当x∈（﹣∞，0]时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，
当x∈（0，+∞）时，令h（x）=x2+（2a+1）x﹣ax=x2+ax+x，h′（x）=2x+a+1＞0，
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∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（x）＞h（0）=0，∴不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，
∴当a＞0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立；
当﹣＜a＜0时，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax显然不成立； 当a
时，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）x
﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立． ∵t′（x）=2x+a+1，由2x+a+1=0，解得x=﹣则当x∈（﹣∞，﹣＞0， ∴=
x
∈
（
﹣
∞=
，
0
）
时
，
，若﹣1＜a
，
，+∞）时，t′（x）
）时，t′（x）＜0，当x∈（﹣
，不合题意；
若a≤﹣1，则x∈（﹣∞，0）时，t′（x）≤0，t（x）为减函数，则t（x）＞t（0）=0．
综上，不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立时a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，属中档题．
20．（2017?上海模拟）已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解． （1）求证：
=（a+b+c）?
；
（2）设z0=1，a、b、c分别为△ABC三边长，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z02＞0”的 ④
条件，并证明：①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非充要．
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【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．
【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论； （2）由方程组有非零解得出出a=b=c；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案．
【解答】解：（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上， 得：
=
=（a+b+c）?
．
=0，即
=0，将行列式展开化简即可得
（2）∵z0=1，∴方程组有非零解， ∴
=0，由（1）可知（a+b+c）?
=0．
∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0， ∴
=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0， ∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
（3）若a+b+c=0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02=0， ∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件； 若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解， ∴
=（a+b+c）?
=0．
∴a+b+c=0或=0．
由（2）可知a+b+c=0或a=b=c．
∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件． 故答案为④．
【点评】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属
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于中档题．
21．（2017?上海模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Pn，且a1=b1=1．
（1）设a3=b2，a4=b3，求数列{an+bn}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，求满足Sn=Pm的所有正整数n、m； （3）若存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，试比较Sm与Pm的大小，并说明理由．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a3=b2，a4=b3，a1=b1=1建立关系求解an，bn的通项公式，可得数列{an+bn}的通项公式； （2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式建立关系，利用函数的极值思想，求解n、m的关系，可得答案．
（3）存在正整数m（m≥3），且am=bm＞0，可得1+（m﹣1）d=qm﹣1＞0．利用作差法证明，需对q=1或q＞1进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， ∵a1=b1=1．
a3=b2，a4=b3，∴1+2d=q，1+3d=q2， 联立解得d=0，q=1；d=
，q=．
∴d=0，q=1时，an=1，bn=1，an+bn=2． d=
，q=时，an=1﹣（n﹣1），bn=
，an+bn=
+
．
（2）在（1）的条件下，且an≠an+1，∴d≠0，d=﹣，q=，
Sn=n+，Pm==2﹣．
n+解得：n＞
=2﹣或n
＜2， ．
，
，
，
，
满足Sn=Pm的所有正整数n、m为：