发布时间 : 星期一 文章屈曲稳定性分析 - 图文更新完毕开始阅读
?W1???W/l???21??????W3??EI????3?W4/l1??l1?W5?????W/l??61????0??12?6?12?60??64?6200????126240?12?6????620862???00?126126???0?6264??0
00????1??6/5?1/10?6/5?1/10??1/102/151/10?1/30????l?00????21???3??0?6/5?1/10??P??6/51/1012/5????? (1-16b) ???04/151/10?1/30????4l1?l1??1/10?1/30?00?6/51/106/51/10????5???????l00?1/10?1/301/102/15?61???????
上面的式子也可以写成
????[K]?1?W? (1-17) 构件丧失稳定时，其抗弯刚度等于零，位移趋向于无限大，而式中[K]?1是[K]的伴随矩阵除以行列式K，只有当K?0时，位移才有可能趋向于无穷大，所以构件丧失稳定的条件是K?0。因为在K中有荷载P，故由此可以得到构件的屈曲荷载
Pcr。
2.5基于ANSYS的桥梁结构稳定分析方法
ANSYS软件是一种在国际上应用广泛的大型通用有限元分析软件，其功能极其强大，可对结构的应力、变形及稳定问题等进行全面分析计算。
对于桥梁结构的稳定性问题，第一类稳定问题（分支点失稳）属于结构弹性稳定分析，临界荷载值
Pcr的求解就成为问题的关键。在有限元软件ANSYS中，其分
析类型就是特征值稳定分析（Buckling Analysis）；极值点失稳和跳跃失稳则属于结构静力非线性分析，其前屈曲或后屈曲平衡状态均可以一次求得。
2.5.1特征值稳定分析
在结构体系的稳定平衡状态，依据势能驻值原理，结构静力计算的平衡方程可以表示为：
U???P? (1-18) ??KE?????KG???式中：?KE?—结构的弹性刚度矩阵；
?KG?—结构的几何刚度矩阵；
?P?—节点荷载向量； ?U?—节点位移向量。
当结构达到随遇平衡状态，结构体系的系统势能的二阶变分等于零，可得下式： ??KE?????KG????U??0 (1-19)
故必有： ?KE???KG??0 (1-20) 其中，式(1-20)中?KE?已知， ?KG?是未知的。故可假设任意一组外荷载?P0?，
0此时结构的几何刚度矩阵为KG，并假定结构失稳时的荷载为??P0?，则有
??0?,于是式(1-20)就可以简化为： ?KG????KG0??0 (1-21) ?KE????KG 上式写成特征值方程即为：
??KE???i?KG????i??0 (1-22) 式中：?i—第i阶特征值；
??i?—与?i对应的特征向量，即为对应的的结构变形形状，也称失稳模态。
因此，在利用ANSYS对桥梁结构进行特征值稳定分析时，结果输出的是结构的失稳荷载系数?i与失稳模态??i?，结构的失稳临界荷载Pcr则为??P0?。
2.5.2非线性稳定分析
对于桥梁结构而言，非线性稳定分析更接近实际情况，故我们在进行桥梁结构稳定承载能力设计时，应计入非线性影响。非线性稳定分析是以非线性静力分析理论为基础，施加一种逐渐增加的荷载对结构发生失稳时的临界荷载进行分析的方法
［37］
。
下面以结构的几何非线性问题为例，分析结构的非线性方程求解方法。 为求解方便，对于结构非线性平衡方程组的解法我们一般采用NR法。首先将结
构的平衡方程展开成泰勒级数，近似化为线性公式。具体求解方法如下
结构的平衡方程为：
?K??u????u???F? (1-23) 用NR法写成迭代公式为：
??KT??u?n????u?n?1??F???F?n ? (1-24)
??????u?u??unn?1?n?1式中，?F?n??K??u?n???u?n如以单自由度系统描述上式，可用图1-10(a)进行图解表示，在ANSYS中称为完全NR法。
F=F4F3KT3KT4F=KuFKnF=KuKT2F2KT1F1
u1u2u3u=u4u (a) (b)
图1-10 完全NR法和修正NR法
但完全NR法每次迭代后都要重新形成一次刚度矩阵，计算相当繁琐，为了减少形成总刚的次数，可采用修正的NR法（NROPT命令中的Option=MODI），这样仅修正一次切线刚度矩阵，进行线性方程组的回代，如图1-10（b）所示。
基于几何非线性的屈曲分析方法
将结构的屈曲稳定视为第二类稳定问题进行非线性屈曲分析、并按规定的荷载增量步长加载时，一旦所施加的结构荷载达到极限值或临界值，就会出现系统刚度矩阵的奇异，从而给系统方程组的求解带来困难，甚至可能导致求解的失败。此时，只有采用足够小的荷载增量逐渐逼近极限荷载，才可能获得极限荷载的近似值。但这需要多次反复试算出合适的加载步长，很不方便。如何求得尽可能接近真实的桩身稳定临界荷载，以及分析结构后屈曲性状，成为结构非线性屈曲问题研究的难点所在。针对这一问题，不少学者己提出一些解决办法 [17~36]：方法之一就是采用位移控制的加载方式。事实上，对极限荷载求解问题，采用位移控制的加载方式分析确实更为有效。然而，实际问题中，因结构可能出现的屈曲失稳形式、所能承受的位移极值（或荷载极限）可能有多个未知量，若试图预先给定使结构保持稳定的最大位移（或荷载）值，按位移（或荷载）控制加载往往难以理想。而为了追踪这类问题的加载路径，纯位移（或荷载）控制的加载方式更不能胜任，需要更有效地加载控制方式。
近年来广泛讨论和应用的弧长法，成为解决上述问题的一种主流型方法。该法自 Riks 于 1972 年提出以来，陆续得到不少学者的修正和完善，目前该法不仅可用于非线性屈曲的极值点附近的分析，且能用于软化性材料的结构分析。弧长法的基本思路是在由弧长控制的、包含真实平衡路径的增量位移空间中，沿着平衡路径迭代位移增量大小（也叫弧长）和方向、确定荷载增量的自动加载方案，从而搜索到满足平衡方程的平衡路径。应该说，失稳路径的弧长法是求解包含各种非线性因素影响力平衡方程的有效方法。
与特征值问题的屈曲分析相比，弧长法用于分析非线性屈曲失稳问题时，不仅考虑刚度奇异失稳点附近的平衡，且通过追踪整个失稳过程中实际的荷载—位移关系来获得结构失稳前后的全部信息。这种能追踪屈曲后加载路径的特性使得弧长法对分析极限荷载等问题十分有效，并且可考虑各种非线性以及组合非线性（如材料非线性、几何非线性、边界条件非线性等）的影响。