发布时间 : 星期一 文章屈曲稳定性分析 - 图文更新完毕开始阅读
q1q2PA'δ2q3EIδ4q4B'δ3δ1PAxLBy
图1-8 单元两段的力和位移
然后将q1,q2,q3和q4形成与?1,?2,?3和?4对应的矩阵。但C和S都是单元kl的三角函数。这种表达式不方便应用，运算过程复杂。故可以采用能量法并利用插值函数而导出q和?之间的近似式。
① 受弯构件的单元刚度矩阵
当p?0时，抗弯刚度的系数C?4,S?2,可以将式(1-6a,b和c)用矩阵的形式表示为：
?q1??12EI/l3?q??2?2???6EI/l????3?q3???12EI/l2??q4????6EI/l?6EI/l24EI/l6EI/l22EI/l?12EI/l36EI/l212EI/l36EI/l2?6EI/l2???1????2EI/l???2?? (1-7a) 2??6EI/l??3??4EI/l????4??或将上面的式子简写为:
[e?][] [q]?k (1-7b)
式中[ke]为单元的弯曲刚度矩阵。 ② 压弯构件的单元刚度矩阵
如图1-8所示，当有轴心压力p作用于构件，[k]为单元刚度矩阵,它与单元刚度矩阵[ke]间的关系如下：
?q???k???????ke??p??kg?????? (1-8)
可将[k]称作单元的压弯刚度矩阵，[kg]称作几何刚度矩阵，或称作初应力刚度矩阵，轴心压力对于抗弯刚度的影响用它进行反映。
应用能量法对式(1-8)中的[kg]进行推导时，需要先将应变能U和外力功W的表达式建立出来。需要注意的是，单元开始弯曲后才产生了外力功中的力q。
U?1l2EI(y'')dx (1-9) ?021Tpl1Tpl2W?????q???(y')dx?[?][K][?]??(y')2dx (1-10)
220220由U?W得到
[?]T[k][?]?EI?(y'')2dx?p?(y')2dx (1-11)
00ll单元中挠曲线A'B'可以用三次抛物线的插值函数来代替,它的坐标系由图1-8可见，此时?1和?3均与y反向。
23 Y?a?bx?cx?dx (1-12)
l)??4,将其单元的两端几何边界的条件如下y(0)???1,y'(0)??2,y(l)???3,y'(代到式(1-12)后得到：
y?[(3x2/l2?2x3/l3?1),(x?2x2/l?x3/l2)??1??????3322322(2x/l?3x/l),(x/l?x/l)]?2??[A]??? (1-13a)
??3????4??y'?[(6x/l2?6x2/l3),(1?4x/l?3x3/l2),
??1??????23222(6x/l?6x/l),(3x/l?2x/l)]?2??[C]??? (1-13b)
??3????4??
y''?[(6/l2?12x/l3),(?4/l?6x/l2)，
??1??????(12x/l3?6/l2),(6x/l2?2/l)]?2??[D]??? (1-13c)
??3????4??(y')2?[?]T[C]T[C][?] (y''2)??[TD]T[D]?[ ][]将(y')2和(y'')2代入式(1-13)可得到
[?]T[K][?]?[?]TEI?[D]T[D]dx?P?[C]T[C]dx[?]
00?ll?但是，
?12/l3?2l?6/lTEI?[D][D]dx?EI?0??12/l3?2??6/l?6/l24/l6/l22/l?12/l36/l212/l36/l2?6/l2??2/l??[ke] (1-14a) 2?6/l?4/l??6/5l?1/10?6/5l??1/102l/151/10lT?0[C][C]dx????6/5l1/106/5l???1/10?l/301/10?1/10??l/30???[kg] (1-14b) 1/10??2l/15?[e?]PK[g ] (1-14c) 故 [k]?k从结果来看，几何刚度矩阵仅与单元长度有关，而弯曲刚度矩阵除了与单元长度有关之外，还与截面的几何性质有关。在弹塑性的受力阶段，抗弯刚度取决于截面弹性区的惯性矩，这时可以用单元中点的截面来代表整个单元的截面。
为了运算的方便，用相同单位来表示单元刚度矩阵中的各项，这样可写出q与?的关系式：
?q1???q/l???2??EI????3?q3??l??q4/l?????12?6?12?6??6/5?1/10?6/5?1/10????1???64???1/102/151/10?1/30?????62P2l?????????????126126?l??6/51/106/51/10????3?????????6264?1/10?1/301/102/15???????4l?
(1-15)
③ 结构刚度矩阵与受压构件的屈曲条件
通过转换矩阵与单元刚度矩阵相乘可得到结构刚度矩阵。但对于比较简单的受压构件，例如轴心受压构件，转换坐标轴的问题并不存在，所以可以通过变形的协调条件和力的平衡而把相同结点内力进行相加，集合成为结构刚度矩阵，此方法也可应用于简单的门式刚架。
δ8,q8δ7,q7Δ6,w6Δ5,w5L2Pδ5,q5LL2EIδ6,q6δ4,q4δ3,q3Δ3,w3Δ4,w4Δ1,w1Pδ1,q1δ2,q2Δ2,w2(a)(b)(c)
图1-9 单元和构件的结点力与位移
对于图1-9(a)中所示轴心受压构件边界条件是任意的，其全长为l,可将它划为图1-9(b)中长度为l1?l/2两个单元，在其两端均表明了位移?和内力q，而图1-9(c) 则为整个构件结点力W和结点位移?。按照力平衡的条件
W1?q1,W2?q2,W3?q3?q5, W4?q4?q6,W5?q7,W6?q8。根据变形协调条件，?1??1,?2??2,?3??3??5,?4??4??6，?5??7,?6??8。
则结点的力和位移的关系式如下:
W?[K]??? (1-16a)
??