发布时间 : 星期五 文章2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆更新完毕开始阅读
＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
x24y2
5．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2
2575的面积为________．
解析：在△F1PF2中，
22
F1F2PF2cos 60°， 2＝PF1＋PF2－2PF1·2即25＝PF2PF2.① 1＋PF2－PF1·
由椭圆的定义，得 10＝PF1＋PF2.②
由①②，得PF1·PF2＝25，
125 3∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin 60°＝. 2425 3
答案：
4
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过M(2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上， y2x2
∴设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144.
y2x2
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
169144(2)法一：由9x2＋5y2＝45， y2x2
得＋＝1，c2＝9－5＝4， 95
所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．
y2x2
设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．
ab由点M(2，6)在椭圆上，所以MF1＋MF2＝2a， 即2a＝
?2－0?2＋?6－2?2＋?2－0?2＋?6＋2?2＝43，
所以a＝23，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8， y2x2
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
128
法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2＝45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)， y2x2
则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
λ＋4λ64
将M(2，6)代入，得＋＝1(λ＞0)，
λ＋4λ解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
y2x2
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
128
7．如图，设点P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一4
点，且MD＝PD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
5
解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，
??xP＝x，
由已知易得? 5
??yP＝4y.
5
∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25.
4x2y2
即轨迹C的方程为＋＝1.
2516
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r， 则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8， ∴a＝4，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
x2y2
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
167
2．2.2 椭圆的几何性质
建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质． x2y2
以方程2＋2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：
ab问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？ y2x2
提示：由2＝1－2≥0，得－a≤x≤a.
ba同理－b≤y≤b.
问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？ 提示：不变．
问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？ 提示：令x＝0，得y＝±b； 令y＝0，得x＝±a；
与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)， 与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．
椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－a≤x≤a，－b≤y≤b (±a,0)，(0，±b) 短轴长＝2b，长轴长＝2a (±c,0) F1F2＝2c 对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0) ce＝∈(0,1) a y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2－a≤y≤a，－b≤x≤b (0，±a)，(±b,0) (0，±c)
1．椭圆的对称性
椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称． 2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系
(1)0 (2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例． (3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例． [对应学生用书P23] [例1] 求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质． [精解详析] 椭圆的方程可化为 y2 x＋＝1，∴a＝9，b＝1， 81 2 已知椭圆方程求几何性质