发布时间 : 星期二 文章人教课标版高中数学选修2-1《立体几何中的向量方法(第3课时)》教案-新版更新完毕开始阅读
3.2.3 向量法在空间垂直关系中的运用
一、教学目标 （一）核心素养
通过这节课学习，掌握利用空间向量证明空间垂直关系. （二）学习目标
1．利用直线方向向量证明空间中的线线垂直.
2．利用直线方向向量和平面的法向量证明空间中的线面垂直. 3．利用平面的法向量证明空间中的面面垂直. 4．学会应用向量解决与垂直相关的探究性问题. （三）学习重点
1．利用直线方向向量证明空间中的线线垂直.
2．利用直线方向向量和平面的法向量证明空间中的线面垂直. 3．利用平面的法向量证明空间中的面面垂直． （四）学习难点
1．对向量法证明空间垂直关系的理解． 2．对各种证明方法的熟练掌握． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
填一填:空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2?0，则
l?m?a?b ?ab?0 ?a1a2?bb12?c1c2?0
(2)线面垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α内两相交向量n1＝(a2，b2，c2)，
n2??a3,b3,c3?则l?? ?a?n1,a?n2 ?an1?0 且an2?0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0且a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 . (3)面面垂直
设平面α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则??? ?n1?n2?_n1n2?0 ?a1a2?bb12?c1c2?0 2．预习自测
1.直线l的一个方向向量为(1,2,0)，直线m的一个方向向量为(2,-1,0)，则直线l与直线m的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 答案：C．
解析：【知识点】用向量法判断两直线的位置关系 【解题过程】?1,2,0??2,?1,0??1?2+2?（-1）+0?0=0 点拨：两直线垂直即是其方向向量垂直.
2.要证明直线与平面垂直，需要证明直线方向向量和平面内几条相交直线的方向向量垂直（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B．
解析：【知识点】用向量法证明直线和平面垂直.
【解题过程】证明线面垂直即证明直线与平面内两相交直线垂直． 点拨：利用直线和平面垂直的向量法判断.
3.平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2,-1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定
答案：C．
解析：【知识点】用向量法证明平面和平面垂直 【解题过程】?1,2,0??2,?1,0??0
点拨：证明面面垂直即证明两平面的法向量垂直． (二)课堂设计 1．知识回顾
（1）怎样用向量法证明线线平行 （2）怎样用向量法证明线面平行 （3）怎样用向量法证明面面平行 2．问题探究
探究一 结合实例，提炼出向量法证明空间垂直的方法★ ●活动 归纳提炼概念
我们知道，利用直线的方向向量和平面的法向量，我们可以解决立体几何中的平行问题，那么空间中各种垂直是怎样用向量法证明的呢？（抢答）
向量法除了可以证明空间中的平行问题，也可以证明空间中的垂直问题。 思考：如何利用直线的方向向量证两直线垂直?（可以抢答）
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则由向量垂直的条件v1?v2?l1?l2.所以在证明l1?l2时,我们可以分别在两直线上适当地选取方向向量v1和v2,证明l1?l2可转化为证明v1?v2,即证明v1v2?0
想一想：我们怎样用向量法来判断直线与平面的垂直呢？ （可以抢答）
设直线l的方向向量为v，在平面?内任取两相交向量a1,a2，由直线平面垂直的判定定理知，所以在证明l??时,分别在直线l上适当地选取方向向量v，在平面?v?a1且v?a2?v??。
上适当地选取两相交向量a1,a2，证明l??可转化为证明v?a1且v?a2,即证明va1?0且
va2?0
想一想：我们怎样用法向量来判断两不同平面的位置关系呢？ （可以抢答）
设平面?和?的法向量分别为n1和n2,结合空间图形,显然有n1?n2????.这样在证明
???时,分别在两平面上适当地选取法向量n1和n2，证明???可转化为证明n1?n2,即证明n1n2?0
【设计意图】通过图象和实例，得出证明空间垂直关系的方法 探究二 用向量法证明空间垂直
●活动① 利用直线的方向向量证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的
1点,且CN?CC1.求证: AB1?MN.
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【知识点】利用方向向量证明线线垂直 【解题过程】 证明：
法一：设AB?a,AC?b,AA1?c ， 则由已知条件和正三棱柱的性质,得
a?b?c?1,cb?ac?0
11a?b,AN?b?c 24111MN?AN?AM??a?b?c
224AB1?a?c,AM???11?111?1∴AB1MN?a?c??a?b?c????cos60???0
24?224?2??∴AB1?MN ∴AB1?MN.