发布时间 : 星期四 文章(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的极值、最值练习新人教B版更新完毕开始阅读
考点三 用导数解决生活中的优化问题
【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与e成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.
(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值. 【解题导思】
序号 联想解题 待定系数法求函根据已知条件得出日销量函数表达式q=数关系 表达式中求出k的值,进而得到利润y与出厂价x之间的函数关系式. 通过求函数最值,(2) 解答实际问题 将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值. x
(1) (k≠0),将x=30,q=100代入日销量函数【解析】(1)设日销量q=(k≠0),
则=100,所以k=100e,所以日销量q=
30
,
所以y=(25≤x≤40).
(2)当t=5时,y=,
y′=.
由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,
所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e, 即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e元.
利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的
4
4
函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答.
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=
+10(x-5),其中2 2 每日可售出该商品10.5千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】(1)因为x=4时,y=10.5, 所以+10=10.5,所以a=1. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-5), 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)= (x-2) =1+10(x-2)(x-5),2 从而,f′(x)=10[(x-5)+2(x-2)(x-5)]= 30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x f′(x) f(x) (2,3) + 单调递增 3 0 极大值41 (3,5) - 单调递减 2 2 由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点. 所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41. 答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.