发布时间 : 星期四 文章(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的极值、最值练习新人教B版更新完毕开始阅读
若x=1是函数f(x)的极大值点,则f′(1)=0,解得a=;所以f(x)=ln x+x-x,
2
f′(x)=+x-==;
当f′(x)>0时,0
当f′(x)<0时,1 所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2. 答案:ln 2-2 3.(2019·荆门模拟)已知函数f(x)=x+2x-2xe.求函数f(x)的极值. 【解析】因为函数f(x)=x+2x-2xe(x∈R), 所以f′(x)=2x+2-2e-2xe=(2x+2)(1-e), 由f′(x)=0,得x=-1或x=0, 列表讨论,得: x f′(x) f(x) 所以当x=-1时, (-∞,-1) - ↘ -1 0 极小值 (-1,0) + ↗ 0 0 极大值 (0,+∞) - ↘ x x x 2 x 2 x f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×=-1, 当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0. 设函数f(x)=e(sin x-cos x)(0≤x≤2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( ) x A. B. C. x D. 【解析】选D.因为函数f(x)=e(sin x-cos x), 所以f′(x)=[e(sin x-cos x)]′=e(sin x-cos x)+e(cos x+sin x)=2esin x; x x x x 令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z); 所以当2kπ 2kπ+π 2kπ+π [sin ; 又因为0≤x≤2 016π,所以0和2 016π都不是极值点, 所以函数f(x)的各极大值之和为: π 3π 5π 2 015π e+e+e+…+e=. 考点二 用导数解决函数的最值问题 【典例】(2019·黄冈模拟)已知函数f(x)=(2,-1). (1)求实数a的值; -ax,曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点 (2)设b>1,求f(x)在区间【解题导思】 序号 上的最大值和最小值. 题目拆解 利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,(1) 利用导数的几何意义求参数 再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值 利用对x分类讨论的方法,结合b的取值范围,用研究函数f(x)的单调性 (2) 求函数f(x)的最值 【解析】(1)f(x)的导函数为 求导的方法判断函数的单调性 从而求出函数的极值,进而求出函数的最值 f′(x)=?f′(1)==1-a, 依题意,有=1-a, 即=1-a,解得a=1. (2)由(1)得f′(x)= 当0 2 , 所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增; 当x>1时,1-x<0,-ln x<0, 所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. 2 因为0<<1 设h(b)=f(b)-f=ln b-b+, 其中b>1则h′=ln b>0, 故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增. 当b→1时,h(b)→0?h(b)>0?f(b)>f. 故f(x)的最小值为f =-bln b-. 求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路 (1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. (2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. (2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx-n(m,n∈R). (1)讨论f(x)的单调性. (2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 2 f′(x)=-4mx=当m≤0时,f′(x)>0, , 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当m>0时,令f′(x)>0,得0 令f′(x)<0得x>减. ,所以f(x)在上单调递增,在上单调递 (2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减. 所以f(x)max=f=ln-2m·-n =-ln 2-ln m--n=-ln 2, 所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-, 令h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1-=, 所以h(x)在上单调递减, 在上单调递增,所以h(x)min=h=ln 2, 所以m+n的最小值为ln 2.