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??由①②两式得太阳的密度为
3?GT2。然而，在此题中这是错误的，其错误的原因是误把
题中给出的行星绕太阳运行的轨道半径r当成了太阳的自身半径R，这是极易出现的解题错误。即此处不能求出太阳的密度。故D选项错误。
例14：假如一个作匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作匀速圆周运动，则： (A)根据公式
，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍。
(B)根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的。
(C)根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的。
(D)根据上述(B)和(C)中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的。
【审题】解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过合理的推导才能正确地选出答案。在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手。本题所提供的选项中已罗列出了各有关的公式，在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件，请注意以下内容： 一、在使用分析问题时，不能只看到r与v的关系，还需考虑因r的变化而引起的万有引力F的变化。
二、在使用分析问题时，不能只看到r与向心力的关系，还需考虑万有引力是否
变化？线速度是否变化？
三、地球对人造卫星的引力是向心力的来源，应用来计算；人造卫星绕地球作
圆周运动是向心力的效果，应用来计算。
【解析】由于公式中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出
错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时所受到的地球引力为F2，则：
由此可知：选项(C)是正确的。
将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来，可以写出下列二式：
①
②
将r2=2r1代入②式可得：
-------------------- -③
将①、③两式相除可导出：
由此可知：选项(D)也是正确的。既然(D)是正确的，那么其结果不同的(A)显然是不正确的。 “卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是正确的，那么与其结果不同的(B) 显然是不正确的。
10、必须区别两个天体之间的距离Ｌ与某一天体的运行轨道半径ｒ的不同
此处“两个天体之间的距离Ｌ”是指两天体中心之间的距离，而“ｒ”则是指某一天体绕另一天体做匀速圆周运动的轨道半径。若轨道为椭圆时，则ｒ是指该天体运动在所在位置时的曲率半径。一般来说，Ｌ与ｒ并不相等，只有对在万有引力作用下围绕“中心天体”做圆周运动的“环绕天体”而言，才有Ｌ＝ｒ。这一点，对“双星”问题的求解十分重要。 “双星”系统中的两个天体共同围绕其中心天体连线上的一点而做的匀速圆周运动。不存在“环绕”与“被环绕”的关系，与地球“绕”太阳和月球“绕”地球的运转情形截然不同。因此，明确地区分“双星”之间的距离Ｌ与双星运转的轨道半径ｒ的本质不同与内在关系就更为重要。
例15：天文学家经过用经过用天文望远镜的长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统.所谓“双星”系统是指两个星体组成的天体组成的天体系统，其中每个星体的线度均小于两个星体之间的距离。根据对“双星”系统的光学测量确定，这两个星体中的每一星体均在该点绕二者连线上的某一点
图４－８ 做匀速圆周运动，星体到该点的距离与星体的质量成反比。一般双星系统与
其他星体距离较远，除去双星系统中两个星体之间的相互作用的万有引力外，双星系统所受其他天体的因；引力均可忽略不计。如图４－８所示。
根据对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中每个星体的质量均为m，两者之间的距
离为L。
(1)根据天体力学理论计算该双星系统的运动周期T0. (2)若观测到的该双星系统的实际运动周期为T,且有
T0:T?N:1，（N>1）。为了解释T
与T0之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在着一种用望远镜观测不
到的“暗物质”，作为一种简化的模型，我们假定认为在这两个星体的边线为直径的球体内部分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物质的密度。
【审题】 “双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型，求解“双星”问题时必须注意到双星之间的距离L与两球体各自作匀速圆周运动的轨道半径r的本质区别与内在关系，并建立双星的空间运动模型，然后依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求解即可。
【解析】 （1）由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力，且因二者
L的质量相等，故各自的运动半径均为2，设各自的运行速度为v，由万有引力定律得
GmGm2mV2L2=L/2，即得V=2L .
2L2?.L/2?LTGm 周期得公式可得，双星得运动周期为0=V=
L（2）此“双星”各在半径为2的圆形轨道上运动，由实际得天文观测知，其实际运行的周
期为
T0:T?TN:1，（N>1），即实际运动周期T<0，表明“双星’还受到其他物质的引力，
且该引力必然指向圆心，由题可知，这一万有引力的来源必定时双星的范围之内均匀分布的
暗物质。把这种暗物质等效于总物质集中在圆心处的星体。如图４－８所示，
设考虑了暗物质的作用之后，观测到的每个星体的运行速率为V，暗物质的总质量为M，由引力定律与圆周运动规律可得
'G(4M?m)2?rGm2GMmm(v')222LL2+(l/2)=L/2，则V'=。又因T=V，在半径r一定时，T与v
成反比。由题意得
T0:T?T0N:1，（N>1），则T=NV'Gm1=V，把V=2L 和
G(4M?m)N?1m2LV'=4代入此式可得暗物质得总质量为M=。
4N?1?(L/2)3?m34又设所求暗物质的密度为ρ，则“暗物质”质量M==，所以，
3(N?1)m32?Lρ=。
11．必须区别人造地球卫星的圆周轨道与椭圆轨道的运行规律的不同 此处首先要明确人造地球卫星的发射速度和环绕速度，环绕速度是指卫星在某一圆周轨道上做匀速圆周运动的运行速度，环绕速度并不仅指7。9km/s． 要使人造地球卫星最终进入预定轨道而稳定运行，要经过火箭推动加速——进入停泊轨道（圆周运动）——再次点火变轨——进入转移轨道（椭圆轨道）——开启行星载动力——进入预定轨道(圆周轨道)等过程。
卫星的预定运行轨道均是圆周轨道，卫星在此轨道上做匀速
图４－９ 圆周运动，万有引力完全提供向心力，卫星处于无动力稳定运
行（其漂移运动此处暂略）的状态。
当发射速度大于7。9km/s而小于11。2km/s时，卫星则做椭圆运动逐渐远离地球，由于地球引力的作用，到达远地点P后，又会沿椭圆轨道面到近地点Q，如图4-9所示。在椭圆轨道的某一位置上，卫星所受地球的万有引力加速度）和沿法线方向的分力即向心力
F引可以分解为切向分力F切（产生卫星的切向
F向（产生卫星的向心加速度）
。卫星在由近地点Q
向远地点P运动的过程中做加速度和线速度都逐渐减小的减速运动；而由远地点P向近地点Q运行的过程则是加速度和线速度逐渐增大的加速运动，椭圆轨道是将卫星发射到预定轨道之间的一个过渡轨道。
例16：（1998年上海高考）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于P点如图４－１０所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ） A.卫星在轨道3上的运行速率大于轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道3上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【审题】此题是一个“高起点、低落点”的题目,涉及到了人造地球卫星的发射和运动中的线速度、角速度、向心加速度的基本知识.这是一个把卫星发射到预定轨道上去的情景模型.求解此题需要运用牛顿定律、万有引力定律和匀图４－１０ 速圆周运动的规律,必须明确以下几点:
①只有在圆周轨上才会有万有引力定律完全提供向心力; ②卫星的轨道半径与卫星到地心的距离是不同的;
③在比较卫星在不同轨道上的角速度、线速度、加速度时要注意选用不同的公式.
【解析】对A选项.此选项比较的是卫星的线速度.由于万有引力提供卫星的向心力,则有
r；GMm/r2 =m v2/r,所以v =因轨道1的圆半径小于轨道3的圆半径,故此卫星在轨道
1上的速度大于卫星在轨道3上的速度.故A选项错误.
对B选项.此选项求的是卫星的角速度,由于万有引力提供卫星的向心力,则有GMm/r2 =mω
GM