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第七章 向量代数与空间解析几何
一、基础题：
１．一向量a与x轴正向，y轴正向的夹角相等．与z轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量a同方向的单位向量．
【分析】 与向量a同方向的单位向量就是以向量a的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量a的方向余弦．
解 设向量a与x轴正向、z轴正向的夹角为?，则它与y轴的正向夹角为2?，那么， a的方向余弦分别是cos?,cos?,cos2?．故
cos2??cos2??cos2(2?)?1
即 2cos2??1?cos2(2?)?0 由此得到 co2?s(co2?s?1)?0
?cos2??0或cos2???| 又 ?2??[0,?]，????4或
?2， 则 cos??22,cos??22,cos??0或cos??0,cos??0,cos???1，
因此，所求的单位向量为 ??2?,2,0??或?0,0,??22?1?． ?２．设a?(4,5,?3)，b?(2,3,6)，求a对应的单位向量a0及b的方向余弦． 解 与a对应的单位向量a0是与a方向相同的单位向量．因此 a0?aa?1(4,5,??45?3?42?52?(?3)23)???50,50,50? ?同上，可求出与b方向相同的单位向量b0：
b0?b1?236?b?(2,3,6)?22?32?62??7,7,7??
从而，b的方向余弦为：
cos??27,cos??37,coa??67．
３．设未知向量x与a?2i?j?2k共线，且满足a?x??18，求x． 解 （方法1）
由于x与a共线，故设 x??a?(2?,??,2?)
?a?x?(2,?1,2)?(2?,??,2?)?2?2??1?(??)?2?2??9???18 ????2
故 x?(?4,2,?4)．
(方法2)
由于x与a共线，故可设x??a,则
?a?x?a?(?a)??(a?a)??a2???22?(?1)2?22??9???18
????2
故 x?(?4,2,?4)．
４．已知向量a,b,c满足a?b?c?0,证明：a?b?b?c?c?a. 证 ?a??(b?c),b??(a?c)
?a?b??(b?c)?b??(b?b?c?b)??c?b?b?c b?c??(a?c)?c??(a?c?c?c)??a?c?c?a
1
?a?b?b?c?c?a
５．已知三角形三个顶点坐标是A(2,?1,3),B(1,2,3),C(0,1,4)，求?ABC的面积．
1【分析】 以向量a,b为邻边的三角形的面积S?a?b．
2解 由向量积的定义，可知?ABC的面积为：
??????????1???1???S?ABC?AB?AC?sin?A?AB?AC
22????????由于AB?(?1,3,0),AC?(?2,2,1)，因此
ijk????????AB?AC??130?3i?j?4k
?221112226． 3i?j?4k?3?1?42?222６．指出下列二次曲面的名称，并作草图．
?S?ABC?(1)16x2?9y2?9z2??25； (2)16x2?9y2?9z2?25；
(3)y2?z2?4x； (4)2(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?0．
【分析】 对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．
解 (1)可以将方程写成如下的标准形式：
x2y2z2????1 222?5??5??5????????4??2??3?该方程表示单叶双曲面，其草图如图7-1；
图7-1
(2)方程可写成如下的标准形式：
x2y2z2
???1 222555?????????????4??3??3?该方程表示双叶双曲面，其草图如图7-2；
图7-2
(3)方程可写成如下的标准形式：
y2z2x?2?2
22该方程表示椭圆抛物面，其草图如图7-3；
2
图7-3
(4) 方程可写成如下的标准形式：
(x?1)2
(y?2)22 ??(z?3)221?2????2?x2y2?2?z2的图形平移到使锥面的顶点为该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面21?2???2??(1,2,3)时得到的．其草图如图7-４；
图7-４
７．一动点M到平面x?1?0的距离等于它与x轴距离的两倍，又点M到A(0,?1,2)的距离为l，求动点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为(x,y,z)，则M到平面x?1?0的距离为x?1．到x轴的距离为y2?z2，由题设条件，有|x?1|?2y2?z2，即(x?1)2?4(y2?z2)，又M到A(0,?1,2)的
距离为l， 即
x2?(y?1)2?(z?2)2?12
?(x?1)2?4(y2?z2) ?动点M的轨迹方程满足：?2 22x?(y?1)?(z?2)?1?注 此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．
x2z2８．求二次曲面y?2?2与三个坐标平面的交线．
ac解 求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立． 此二次曲面为双曲抛物面，它与xOy面的交线为
??x2z2x2?y?2?2?y?2c，即??aa．
?z?0?z?0??这是xOy面上的抛物线 y?x2a2．
???xz??xz?x2z2?y?????????0?22，即?a曲面与zOx面的交线为?． c??ac??ac???y?0?y?0
3
这说明曲面与zOx面的交线是zOx面上的两条相交直线z?ccx和z??x． aa?z2?x2z2?y??2?曲面与yOz面的交线为?xy?a2?c2，即?c．
?x?0??y?0?这是yOz面上的抛物线．
９．一平面与原点的距离为6 ，且在三坐标轴上的截距之比a:b:c?1:3:2，求该平面方程．
解 因为截距之比为 a:b:c?1:3:2，故可设截距 a?t，b?3t，c?2t，则平面方
xyz程可设为 ???1．
t3t2t此平面与原点的距离：
?1d??6
222?1??1??1??????????t??3t??2t?xyz解得 t??7，则所求平面的方程为： ????1
72114即 6x?2y?3z?42 ?yzx?1y?2z?310．设直线l过点P0(1,1,1)，并且与直线l1:x??相交，与直线l2:??21423垂直，试求直线l的方程
解 直线l2的方向向量为s2?(2,1,4)，过P0(1,1,1)以s2为法向量的平面方程为：
?：2(x?1)?(y?1)?4(z?1)?0
由题意知，所求直线l在平面?上．因直线l1与直线l相交，故l1与平面?也相交，我们可求出l1与?的交点．
?x?t7?将l1转化为参数式?y?2t，代入平面方程，得t?．
16?z?3t??7721?故交点P1的坐标为?,,?．
?16816???????9?25??7721?PP,?平由于直线l过P0(1,1,1)和P,,?两点，其方向向量s与01=??,1??16816?161616??行，可选择s?(9,2,?5)．
所以，直线l的方程为
x?1y?1z?1 ??92?511．判定下列各组平面与直线间的位置关系：
x?2y?2z?3（1）l1：与?:4x?2y?2z?3 ???2?73x?1y?2z?1与?:x?y?z?1 ??312解 （1）l1的方向向量s?(?2,7,3)，?的法向量n?(1,?1,1)．因为
x?3y?5z??s?n???2??4???7????2??3???2??0 321所以l1//?．
（2）l2：
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