发布时间 : 星期一 文章2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）更新完毕开始阅读
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一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为（1）证明：PE⊥平面MNF；
（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．
．
【解答】证明：（1）方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=因为MN∥BC，OE∥AB， 所以MN⊥OE，所以MN⊥PE． 又EF=PE=所以
OE，EQ=OE， ，
，OP=OE．
所以△EFQ∽△EOP， 所以
，
所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q， 所以PE⊥平面MNF．
方法二：取AD中点O，连接OE， 交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD， 所以OP⊥平面AC，
，OP=OE．
又因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．
以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标
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系O﹣xyz．
设AB=m，AD=n，则P（0，0，m），E（0，m，0），M（于是所以
=（0，m，﹣m），
=（﹣
）．
，0），F（0，
），
=0，所以PE⊥MF，且MN∩MF=M，
所以PE⊥平面MNF
解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD． 因为平面PAD⊥平面AC，所以OP⊥平面AC，
，OP=OE．
以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．
设AB=AD=m，则P（0，0，m），E（0，m，0），B（F（0，于是
），
=（0，m，﹣m），
=（0，﹣，0），
=（﹣
）．
），M（
，0），
设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），
则，令x=1，得=（1，0，2）．
而平面NMF的一个法向量为=所以cos＜
＞=
=
=（0，m，﹣m）．
=﹣
．
由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角， 故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣
．
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20．（12分）已知椭圆
F2分别是椭圆C的左、右焦点，且（1）求椭圆C的标准方程；
过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，
．
（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
【解答】（本题满分12分） 解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又∴
．又a2﹣b2=c2，∴a=2，
．
，即
，
∴椭圆C的标准方程为
（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），则
，
联立直线与椭圆，消去y，整理得．
由，得．
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设A（x1，y1），B（x2，y2），则：
．
则
原点O到直线l的距离故
=
当且仅当
，即
△
．
OAB
面
，
取等号，
积
故△OAB面积的最大值为1．
21．（12分）已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0． ①求证：x2＞e；
②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx， 由f（x）≥h（x）≥g（x）知：ex≥kx≥lnx， 依题意：设
当x∈（0，1）时m′（x）＜0； 当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0， ∴[m（x）]min=m（1）=e， 设
，
对x∈（0，+∞）恒成立，
，
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