发布时间 : 星期二 文章推荐下载 2018年数学江苏专用理科提高版大一轮复习自主学习：第53课 直线的基本量与方程 含解析更新完毕开始阅读
第53课 直线的基本量与方程
【自主学习】
第53课 直线的基本量与方程
(本课时对应学生用书第137~138页)
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1. (必修2P76练习1改编)已知直线l的方程为-3x+2y=12，那么直线l的斜率为 ，在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 .
3【答案】2 -4 6
33【解析】化直线为斜截式y=2x+6，故k=2.令y=0，得x=-4，所以直线在x轴上的
截距为-4；令x=0，得y=6，所以直线在y轴上的截距为6.
2. (必修2P73练习3改编)已知两点A(4，0)，B(0，3)，点C(8，a)在直线AB上，那么实数a= . 【答案】-3
3a-3【解析】由kAB=kAC，得-4=8，所以a=-3.
3. (必修2P72练习2改编)若直线l经过原点与点(-3，3)，则直线l的倾斜角为 . 【答案】150°
3【解析】因为k=tan α=-3，所以直线l的倾斜角为150°.
4. (必修2P73练习3改编)已知直线l经过点A(1，2)，且倾斜角是直线y=2x+3的倾斜角的2倍，那么直线l的方程为 . 【答案】4x+3y-10=0
【解析】设直线y=2x+3的倾斜角为α，则tan α=2，
4所以直线l的倾斜角为2α，所以k=tan 2α=-3，
所以直线l的方程为4x+3y-10=0.
1. 直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
y2-y12. 已知直线上不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当x1≠x2时，直线PQ的斜率为x2-x1；
当x1=x2时，直线PQ的斜率不存在.
3. 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tan α.
4. 直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1x-x1y2-y1=x2-x1 适用范围 不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1(x1=x2)和y=y1(y1=y2)
截距式 一般式
xya+b=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 Ax+By+C=0(A，B不全为0)
【要点导学】
要点导学 各个击破
直线的斜率
例1 若直线ax+y+1=0与连接点A(2，3)，B(-3，2)的线段相交，则实数a的取值范围是 .
【思维引导】直线与线段AB相交，即可得直线与线段的交点在线段上，于是只需在直线上取一定点，与线段两端点求出斜率即可.
【答案】(-∞，-2]∪[1，+∞)
【解析】直线的斜率为k=-a，且直线经过定点P(0，-1)，分别求出直线PA，PB的斜率为2，-1，可得斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[2，+∞)，则实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[1，+∞).
【精要点评】解答已知直线过某定点且与已知线段有交点，求其中参数的取值范围时，常用数形结合法，分别求出该定点与线段的两个端点连线的斜率，再根据图形列出不等式(组)来求解.
变式1 直线l过点P(-1，2)，且与以A(-2，-3)，B(4，0)为端点的线段恒相交，
则直线l的斜率的取值范围为 .
2??k|k?5或k?-??5?? 【答案】
变式2 若直线(k2-1)x-y-1+2k=0不经过第二象限，则实数k的取值范围
是 .
【答案】(-∞，-1]
【解析】直线方程可化为y=(k2-1)x+2k-1， 因为直线不过第二象限，
?k2-1?0，?2k-1?0，??22k-1?0所以?或?k-1?0 ?k2-1?0，?2k-1?0，或?解得k≤-1. 即实数k的取值范围是(-∞，-1].
直线的斜率与倾斜角
例2 设点P是函数y=x(x+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的斜率为k，倾斜角为θ.
(1)求k的最小值； (2)求θ的取值范围.
【思维引导】本题需要先通过导数求出切线的斜率，再根据所得函数模型，求出斜率的取值范围，再算出倾斜角的取值范围.
1?1?13x???x?≥3，当且仅当x=3时取等号，所以k的最小【解答】(1)k=y'=2?值为3. ?π??π?0，，π??2??23????， (2)又k=tan θ≥，θ∈∪