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x?2??x?3???1． 在时，
?2x?2??x?1?22x?2??x?3???1． 综上所述，可知 ?4??2x?2??x?1?223．4构造主元，局部固定
一些不等式的证明，若从整体上考虑很难入手，则当条件或结论中出现多个变量时，我们可以选取其中一个变量为主元局部固定，抓住这个主元逐一证明不等式．通常是先暂时固定某些变量，而考查个别变量的变化、结果，然后再确定整个问题的结果．
例4 设a?1，函数f?x??ax2?x?a，求证：当x?1时，f?x??5． 4分析：该问题一般是通过绝对值不等式的几次放缩来证明，但我们若换一个视角，以a为主元，将题中关于x的函数看成a的一次函数，则原命题的陈述方式可改为：一
5次函数g?a???x2?1?a?x的最值不超过．
4证明：设g?a???x2?1?a?x，a???1,1?，x???1,1?．
5成立． 45当x2?1?0时，g?a?是a的一次函数，故只需证明g??1??．
4当x2?1?0，即x??1时，g?a???1．显然f?x??g?a??51?5?因为g?1??x?x?1??x???，所以??g?1??1，即g?1??1；
42?4?22551?5?而g??1???x2?x?1???x???，所以?1?g??1??，即g??1??．
442?4?2综上所述， g?a??55，即f?x??． 443．5构造概率模型
概率论是研究随机现象的一门数学分支，它既有其独特的概念和方法，又与其它学科分支有着密切的联系．因此在解答有关数学问题时，若能依据题设条件构建概率模型，可使这些数学问题简捷巧妙解决．构造概率模型解题，关键在于要找到恰当的概率模型．一旦运用成功，它能从某些方面体现出问题的本质规律和数学的内在美，往往给人以耳目一新的感觉．
5
4?sin2x????2． 例5 已知x??0,?，求证：
????2?1?2sin?x??4??分析：原式即
4?2sinxcosx?2，由条件知0?sinx?1，0?cosx?1．于是只需证
1?sinx?cosx2?sinxcosx?1?sinx?cosx，亦只需证sinx?cosx?sinxcosx?1成立，显然利用概率模型来证极为简单．
证明：设两独立事件A和B，即P?A??sinx，P?B??cosx， 则 P?A?B??P?A??P?B??P?AB??sinx?cosx?sinxcosx?1， 于是 2?sinxcosx?1?sinx?cosx．
???因为x??0,?，故sinx??2?，0cosx?0．即得
4?2sxinxcos?2，所以
1?sixn?cxos4?sinx2?2． ???1?2s?ixn??4??对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑利用概率性质0?P?A??1及加法公式
P?A?B??P?A??P?B??P?AB?，
或P?A?B?c??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?BC??P?AC??P?ABC?来证．其关键是求证式要符合概率加法公式的基本形式．
3．6构造方差模型
方差S2??x1?x?x2?x?n??2?2?xn?x??2(其中x是n个数据x1，x2，，xn的平
均数)，是用于描述数据波动情况的一个量．方差的表达式可以写成
S2??x212?x2?2?xn??x?x??12n?xn?2n．
显然有S2?0(当且仅当x1?x2?利用方差这一变式，我们可以?xn?x时等号成立)．
通过构造方差来解决一类有关n个实数的和与其平方和之间的关系问题．
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例6 设联赛试题)
3?x?5，证明：2x?1?2x?3?15?3x?219．(2003年全国高中2证明:设原不等式的左边为u（u?0），则x?1，x?1，2x?3，15?3x的方差是
S??2?x?1???2x?1???22x?3?4??215?3x?2u2?4
1?12?314?x?u?0， （?x?5） ???4?42??所以 u?4?14?x??4?14?5??219．
又x?1?2x?3?15?3x无解，于是上式等号不成立． 故u?219,原不等式成立．
通过构造方差模型，使得复杂的无理不等式的证证明问题得以简捷解决．
3．7构造数列
一个不等式有时涉及多个变量．如果能根据题设条件将某些变量看成是数列的项．则可借助数列中项之间的关系来沟通变量间的联系，使问题获解．通过构造等比数列或等差数列．将不等式中出现的多个变量都用公比或公差来表示．实现了化多元为一元．从而简化了不等式证明的难度．有些不等式中含有与自然数有关的变量，这时如果将这一变量看成是某一数列的项数，构造数列，则可结合数列的知识来证明不等式．
1例7 求证：1?3?5?2n?1?．
2462n3n?1分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决．跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列．我们来构一个数列?an?．
证明： 令an?1?3?5?2n?1?3n?1， 2462n?2n?2???3n?1?12n3?28n2?20n?4?an?1??1 则?=??322a?2n?1???3n?4?12n?28n?19n?4?n?22所以，an?1?an，从而有，an?an?1?an?2???a1?1．因此原不等式得证．
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3．8构造向量
向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点，使得向量成了数形结合的桥梁．对于某些不等式的证明，若能依据不等式的条件和结论，将其转化为向量形式，利用向量
????和及数量积关系式m?n?m?n，往往避免复杂的凑配技巧，使证明过程直观而又容易理解．
例8 已知a,b?R?，a?b?1，求证：2a?1?2b?1?22．
?证明：设m??1,1?，n??2a?1,2b?1，则
?m?n?2a?1?2b?1，m?2，n?2．
由m?n?m?n，得
2a?1?2b?1?22．
构造向量时，要充分考虑待证不等式的结构特征，才能有的放矢．
3．9构造函数
函数揭示了变量之间的对应关系，同样也蕴含着变量之间的不等关系．我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题．如果能根据题目的条件与所证的不等式的结构特征．合理构造函数，常可使原本复杂的证明变得简便易行．
构造函数证明不等式．其关键在于寻找恰当的函数模型．这往往需要将所证的不等式直接改造成函数关系式，或者将其看成某一函数解析式中的系数满足的关系．来探求函数解析式． 3．9．1构造一次函数
由一次函数y?kx?b的图像可知，如果f(m)?0,f(n)?0，则对一切x?(m,n)均有f(x)?0．我们将这一性质称为一次函数的保号性．利用一次函数的保号性可以证明一些不等式．
例9 已知a?1、b?1、c?1,求证:abc?2?a?b?c. 分析：首先将不等式化为abc?2?a?b?c?0并整理得
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