发布时间 : 星期六 文章不等式的证明方法论文更新完毕开始阅读
1引言
不等式具有丰富的内涵和突出的地位，并且它与数学理论、现实生活、科学研究有着紧密的联系．加之，不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，有些不等式用一般的方法（如比较法、分析法、综合法）很难证出来，或者是论证过程很冗长，亦或根本证不出来[1]．
于是，人们追寻不等式与其它知识的相互联系，构造新颖巧妙的组合，在不同知识体系的交汇处探究问题，逐步提高知识的“整合”能力，把需证明的不等式加以转换，使之以特殊的行之有效的方法得以证明，在此基础上还要注意从不同角度去分析不等式的结构与特征，应用联系、变化、对立统一的观点恰当地将问题转化，从而使不等式的证明化难为易[10]．探讨不等式证明的不同方法是一项有意义的工作，下文通过典型的例题，揭示了一些不等式证明方法在解题中的应用，旨在进一步拓宽人们证明不等式的能力．
2文献综述
2．1国内外研究状况
国内许多专家、学者研究过不等式的证明方法．在其一般方法（比较法、分析法、综合法）的基础上．早在1987年，闻厚贵就在文[1]编著了不等式证法，该书将不等式的证明方法整理归类．1990年，严镇军在文[2]中编著了不等式，该书归纳了不等式的性质、证明技巧以及应用．1987年，易康畏在文[3]中编著了不等式的图解、证明及演绎，该论著利用图解的形式详细的分析证明了不同的不等式． 2009年，刘美香在文[4]中讨论了构造概率模型证明不等式．2003年，赵会娟、尹洪武在文[5]中研究了不等式证明的几种特殊方法．2004年，李文标在文[6]中浅谈了证明不等式的几种非常规方法；朱胜强在文[7]中探讨了不等式证明的几类非常规方法．2008年余焌瑞在文[8]中研究了构造法在不等式中的运用．2002王廷文、王瑞在文[9]中讨论了构造函数证明不等式．1997年，王廷文在文[10]中总结了构造法证明不等式．2007年，常椒凤在文[11]中讨论了数学解题中的图形构造法；同年，王保国在文[12]中介绍了不等式证明的六种非常规方法；黄俊峰在文[13]中介绍了利用向量的性质证明不等式． 2008年，谭景宝在文[14]中介绍用构造法证明不等式；在文[15]中周燕华就利用转换视角、构造主元证明
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不等式的方法给出了系统、详尽的举例论证．2008年，耿道永在文[16]中提出了有关不等式的几种新颖构造性证法．
2．2国内外研究评价
从查到的国内外文献来看，国内外研究者对不等式证明方法介绍了很多，文献[1-17]分别就不等式的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种不等式证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如判别式法、构造函数法在形式上都是根据二次函数的性质来进行分解求解的，因此可以归为构造函数法．所以，有必要重新整理和归纳不等式证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性．
2．3提出问题
不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．因此在前人研究不等式证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法．
3构造法
所谓构造法，就是指通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程、或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．
3．1构造几何图形
有些不等式若是按常规的代数方法证明，则繁难无比．若是能揭去不等式抽象的面纱，恰当地赋予几何意义，并构造出相应的几何图形，将题设条件及数量关系直接在图形中得到体现，使条件与结论的关系明朗化，就能直观揭露出不等式问题的内在实质，由此获得具体、形象、简洁的证明方法．构造几何图形证明不等式，关键是构造出恰当的几何图形，把不等式由图形来表示出来．常用到 “两点间直线段最短”，“三角形中大边对大角”，“三角形两边之和大于第三边”，“直角三角形斜边大于直角边”等几何知识．
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?求k证：例1已知正数a?b?c?a1?b1?c1满足条件a?a1?b?1b?c?1c,ab1?bc1?ca1?k2．
分析：如果我们把ab1，bc1，ca1均看作三个矩形的面积，
k2看作边长为k的正方形的面积，从中构造出前面的这三个
矩形．
证明：构造边长为k的正方形ABCD(如图１)，且令
DF?a，DG?AH?b1，AG?BH?b，BE?c1，CF?a1，并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．
由SABCD?S??S???S???，可得ab1?bc1?ca1?k2． 图1 利用数形结合解题的关键是理解代数式的几何意义，把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式．因此，对于函数的图象和常见曲线要熟记，以便在应用时，能够得心应手，信手拈来．
3．2构造复数
复数之间不存在大小关系，但复数的模、实部、虚部作为实数，它们之间是可以比较大小的，因此复数的模、实部、虚部各自或彼此之间存在一系列不等关系．构造复数证明不等式的思路是，根据待证不等式和已知条件构造复数，然后代入复数模的不等式中，再把模的不等式化为无理不等式或线段不等式．当求证的不等式中出现“平方和的算术根”的形式的时候很容易联想到复数的模．从而可通过构造复数并利用复数模的性质Z1?Z2?Z1?Z2?Z1?Z2来证明不等式．
例2 设a，b，c?R，求证：a2?b2?b2?c2?c2?a2?2?a?b?c?． 分析：根据求证式的结构特点，联想复数模的性质Z1?Z2?Z1?Z2?Z1?Z2． 证明：构造复数Z1?a?bi，Z2?b?ci，Z3?c?ai，则
Z1?a2?b2， Z2?b2?c2， Z3?c2?a2，
Z1?Z2?Z3??a?b?c???b?c?a?i?2a?b?c?2?a?b?c?，
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而Z1?Z2?Z3?Z1?Z2?Z3，所以
a2?b2?b2?c2?c2?a2?2?a?b?c?．
构造复数证明不等式有很大的局限性，只有当不等式出现“平方和算术根”时，我们才考虑构造复数．
3．3构造定比分点
设P1，P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1，P2的任意一点，则存在一个实数显然，当点P在线段P?使P1P2上时，1P??PP2，?叫做点P分有向线段P1P2所成的比．当点P在线段P如果这条直线l就是x轴，且P1，???；1P2或P2P1的延长线上时，???．
P，P2在x轴上的实数分别为p1，p，p2 (其中p1?p2)，则p1?p?p2的充要条件是
???．这样，我们就可以将证明一个不等式的问题转化为对一个实数的符号的判断问
题．
例3
x?2??x?3???1． 求证：?4??2x?2??x?1?222x?2??x?3??分析：此题我们通常用判别式法去证．如果设?4，，1分别是有向?2x?2??x?1?2线段上的三点，则可通过定比?的值确定内、外分点来证得．
x?2??x?3??证明：设?4，，1分别对应数轴上的点P，P，P，P分有向线段?2x?2??x?1?2212PP12所成的比为?，则
?x?2??x?3??42x?2??x?1???3x?1????x?2??x?3???x?2?1??2x?2??x?1?22222222，
所以，??0或?不存在，故点P不是P1P2的外分点；
x?2??x?3?x?2??x?3????1；当??0时，???；当?不存当??0时，?4??2x?2??x?1??2x?2??x?1?22 4