发布时间 : 星期五 文章2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题2-3函数的奇偶性与周期性（讲）含答案更新完毕开始阅读
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数， 由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2， 故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. 方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. 【方法技巧】
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
【变式3】 （2019·湖北武钢三中模拟）已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 C．8 【答案】B
【解析】当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1
考点四 函数性质的综合应用
【典例4】 (2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 C．2 【答案】C
【解析】∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，
πx
，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期2
B．7 D．9
B．0 D．50
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
【方法技巧】对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题。
π【变式4】（2019·山东烟台二中模拟）已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，3设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
πA. 3【答案】B
【解析】由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2). ∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
2π
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
3
2πB. 3
C.π
4πD. 3