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22．设{Xn,n?0,?1,?2,...}是白噪声序列，试证明
Y(n)?1[X(n)?X(n?1)?...?X(n?m?1)] m为均方连续的平稳过称，具有谱密度S(?)，试证：
是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。 23．设{X(n),n?0,?1,2?,...}对每个??0,X{n(?n),?0?,?1是,平稳序列，并用S(?)表出
{X(n?)n,?0?,?1,的谱密度。
24．设?、?是两个互相独立的实随机变量，E??0,D??1，?的分布函数是F(x)，试证明：Z(t)??ejt?为平稳过程，且其谱函数就是F(?)。
25．设{X(t),???t???}是均方可导的平稳过程，S(?)是其谱密度，试证
（1）Y(t)?（2）Z(t)????tte??(t?s)X(s)ds,(??0,常数)
e??(t?s)sin?(t?s)????X(s)ds,(??0,??0均常数)
均为平稳过程，并求他们的谱密度。
26．设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：
Y??(t)??Y?(t)??02Y(t)?X(t)
使用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。
27．已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳的正太过程，通过实验测得Z的功率谱密度为
SZ(?)???(?)?2? 222(???)(??1)22(0)?2RX(?)； （1）试证Y也为平稳的，且RY(?)?RX（2）利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。
X(t)(?)2Y(t)题27图
h(t)=e-tU(t)Z(t)
28．设线性时不变系统的脉冲响应h(t)?U(t)exp(??t)，其中??0为常数，
U(t)为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为
RX(?)?exp[???],(??0)的平稳过程。试求：
（1）系统输入与输出的互相关函数。 （2）输出的功率谱密度和自相关函数。
29．设随机过程X(t)?Acost?Bsint,???t???，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且D(A)?D(B)??2。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
30．设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t???，其中A、?是相互独立的随机变量，且?服从区间[0,2?]上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
31．设随机过程X(t)?Acos(?t??),???t???，其中A、?、?是相互独立的随机变量，其中A的均值为2，方差为4，且?服从区间[??,?]上的均匀分布，?服从区间(-5,5)上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
32．设平稳过程的期望为m，自相关函数为R(?)，协方差函数为C(?)。
（1）若
????C(?)d????，试证明X的均值各态历经；
（2）若C(0)???，且当???时，C(?)?0，试证明X的均值各态历经。
33．设平稳过程X?{X(t)?,??t??的?}均值mX?0，相关函数
RX(?)?Ae历经性。
习题五
?a?(?1?a)?,a(，其中0)A、a是常数。问X的均值是否具有各态
1．设{Un,n?1,2,...}是相互独立的随机变量序列，试问下列的{Xn,n?1,2,...}是否是马氏链，并说明理由：
（1）Xn?U1?U2?...?Un； （2）Xn?(U1?U2?...?Un)2。
2．{Xn,n?1,2,...}是随机差分方程Xn??Xn?1?In的解，其中?是已知常数，
X0?0，而{In,n?1,2,...}是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明
{Xn,n?1,2,...}是马氏链。
3．有两个状态0和1的马氏链{Xn,n?1,2,...}，其状态转移概率矩阵为
?p00P???p10试证：
（1）当p00?p11?1?1时，有
p01?? p11?P(n)?(1?p00)??1?p111?p00?(p00?p11?1)n?1?p00??????1?p1?p?(1?p)1?p2?p00?p11?2?p?p1100?1111?0011?1n??
n??(n)n()limp00?limp10?1?p11
2?p00?p11（2）特别地，当
p00?p11?p,q?1?p时有
P(n)?11n?(p?q)?22???1?1(p?q)n??2211??(p?q)n?22?
11?(p?q)n??22?（3）试求概率P{X0?1|X1?1}。
4．有三个黑球和三个白球，把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋
中的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态：0,1,2,3。现每次从甲、乙袋中各取一球，然后互相交换，即把从甲袋中取出的球放入乙袋，而把从乙袋中取出的球放入甲袋，经过n次交换过程的状态记为Xn。试问过程是否是马氏链？如果是，试计算其一步转移概率矩阵。
5．设一个有三个状态的马氏链，其状态转移概率为
?p1?P??0?q?3q1p200??q2? p3??(n)(n),n?1,2,3。 其中pi?qi?1,i?1,2,3。试求首达概率f00和f016．设马氏链的转移概率矩阵分别表示如下：
?0.6??0?0.1P???0?0??0.4?00.6000000.40.10.10.10.50.20.20.40.20.2000000.800.4??0?0.1?? 0?0??0.6??00.40??0.60?12??00.4???00.6013?P??00.20.600.2?,P??14??00.60???0.40?14?00.20?00.8??120??13130? ?141414?141414?0（1）试对S进行分类，并说明各状态的类型； （2）求平稳分布，其平稳分布是否唯一？为什么？
（3）求P(X(n?2)?1|X(n)?0)，P{X(n?2)?2|X(n)?0}。 7．试讨论齐次马氏链的平稳概率的存在性和唯一性问题，若存在，如何求出其所有的平稳概率？并举例说明。
8．考虑一个状态为0，1，2，…的马氏链，其状态转移概率为
p0i?pi,?pi?1,?ipi??,pi,i?1?1,i?1
i?0i?0??试证明此马氏链是不可约、非周期、正常返的，并求其平稳概率。
9．假定今天下雨，则明天仍下雨的概率为?，而如果今天不下雨，则明天下雨的概率为?，试求下雨的极限概率。
10．考虑一个有平稳概率?i的不可约非周期马氏链，设其初始分布为?i，记
Qij?P{X0?j|X1?i}
则Q可看作为一个马氏链的转移概率矩阵，试证明：
(n)Qij?P{X0?j|Xn?i}
11．设有两个相同部件，工作时的寿命均服从参数为?的指数分布，储备时的寿
命均服从参数为?的指数分布。开始时一个部件工作，一个部件储备，当工作部件失效时立即进行修理，修理时间服从参数为?的指数分布；当一个部件在修理时，若另一个也失效，则等待先修理者修理完毕后立即进行修理；当一个失效部件修理完毕时，若另一个部件正在工作，则做储备，否则立即开始工作。试求t时有部件工作的概率。
Yn是独立同分布取整数值的随机变量序列，12．设N(t)是率为?的Poisson过程，