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输入微分电路，该电路输出随机过程Y(t)?X?(t)，试求Y(t)的均值函数、相关函数、X(t)与Y(t)的互相关函数。 7. 试求第3题中可积过程的如下积分：
1t1t?LY(t)??X(u)du，Z(t)??X(u)du
t0Lt的均值函数和相关函数。
8. 设随机过程X(t)?Ve3tcos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程Y(t)??T0 X(s)ds的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。
9. 设{W(t),t?0}是参数为s2的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。 （1）X(t)?（2）X(t)?（3）X(t)?t?W(s)ds,t?0；
0t?sW(s)ds,t?0；
0?t?lt[W(s)?W(t)]ds,t?0。
?X?(t)?aX(t)?0,t?0(a?0) ?X(0)?X0?10. 求一阶线性随机微分方程
的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中X0是均值为0、方差为s2的正态随机变量。
11. 求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。
?Y?(t)?X(t),t?[a,b](a?0) (1) ?Y(a)?Y0?其中X(t)是一已知的二阶均方连续过程,Y0是与X(t)独立的均值为m、方差为
s2的随机变量。
?Y?(t)?aY(t)?X(t),t?0(a?0) (2) ?Y(0)?Y0?其中X(t)是一已知的均值函数为mx(t)?sint、相关函数为
RX(s,t)?e??t?s(??0)的二阶均方连续过程。
习题四
1．设随机过程X(t)?Acos(?t??)，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为
?xx2?exp(?2),x?0p(x)???2(??0) 2??0,x?0?式中?服从区间[0, 2?]上的均匀分布，且A、?相互独立，试研究X是否为平
稳过程。
2．设X是一平稳过程，且满足X(t)?X(t?T)，称X为周期平稳过程，T为其周期，试证X的相关函数也是以T为周期的周期函数。
3．设X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明Z(t)?X(t)?Y(t)也是平稳过程。
4．设{X(t?),??t??是?n阶均方可微的平稳过程，证明
(2n)(?)。 {X(n)(t),???t???}是平稳过程，且Rx(n)(?)?(?1)nRX5．设{X(n)}是一均值为0的平稳时间序列，证明：
（1）Z(n)?AX(n)?BX(n?m)仍是一平稳时间序列； （2）若数列{A(n)}绝对收敛，即是一平稳时间序列；
（3）若{X(n)}是一白噪声，试求Z(n)?k?????Ak???，则Z(n)?k???(?AXnk?k?)仍
?AX(n?k)的相关函数及其谱函
kk?0?数。
6．设X(t)是雷达在t时的发射信号，遇目标返回接收机的微弱信号是
aX(n??1),a?1，?1是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记
噪声为N(t)，于是接收机接收到的全信号为：Y(t)?aX(t??1)?N(t)，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求RXY(?)；进而，若N(t)的均值为0，且与X(t)相互独立，试求RXY(?)。
t)?sin?t，其中?是服从区间[0, 2?]上的均匀分布的随机变量，试证：7．设X(
（1）{Xn,n?0,?1,?2,...}是一平稳时间序列；
（2）{X(t),???t???}不是平稳过程。
8．设{X(t),???t???}为零均值的正交增量过程，EX(t)?X(s)?t?s，试证Y(t)?X(t)?X(t?1)是一平稳过程。
9．设{X(t),t?0}是平稳过程，均值mX?0，相关函数为RX(?)，若
（1）RX(?)?e?a?2,a?0
??1-?,??1（2）RX(?)??
??0,其他1t令Y(t)??X(s)ds，T是固定的证书，分别计算{Y(t),t?0}的相关函数。
T010．设平稳过程{X(t),t?0}的相关函数为RX(?)?1?e????1?e???，这里
????0为常数。
（1）判断X是否为均方可导，说明理由； （2）计算E{X(t)X?(t??)}和E{X?(t)X?(t??)}。 11．设宽平稳过程{Y(t),t?(??,??)}的自相关函数为RY(?)?e??，对满足随机
微分方程X?(t)?X(t)?Y(t)的宽平稳过程解{X(t),t?(??,??)}。
（1）求X的均值函数、自相关函数和功率谱密度；
（2）求X与Y的互相关函数和互功率谱密度。
12．设{X(t),t?0}是均值为0的平稳的正态过程，且二阶均方可导。求证：对任意t>0，X(t)与X?(t)相互独立，但X(t)与X??(t)不独立，并求RXX??(t,t??)。 13．设{X(t),t?0}是均方可导的实平稳的正态过程，相关函数为R(?)，求其导数过程{X?(t),t?0}的一维、二维概率密度函数。 14．已知平稳过程的相关函数
2（1）RX(?)??e2（2）RX(?)??e?a?cos??,(a?0) (1?a?),(a?0)
?a?（3）RX(?)??2e?a?[cos???a?sin??],(a?0)
求谱密度。
15．已知平稳过程（参数连续）的谱密度
??a,??b（1）SX(?)??
??0,其他2??b,a???2a（2）SX(?)??(a?0)
??0,其他?k2,(?k,?k为正数) （3）SX(?)??22???k?1kn求相关函数和平均功率。
16．设X、Y是两平稳相关过程，且E[X(t)]?E[Y(t)]?0，RX(?)?RY(?)，
RXY(?)??RXY(??)，试证Z(t)?X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t也是平稳过程。又若
X、Y的谱密度函数存在，使用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。 17．设X(t)?cos(?t??)，其中??0为常数，?是特征函数为f(t)的实随机变量，证明X为平稳过程的充要条件为f(1)=f(2)。
18．设X为平稳正态过程，E[X(t)]?0，R(?)是其相关函数，试证
Y(t)?sgn[X(t)]是一平稳过程，且其标准相关函数为
?Y(?)?RY(?)2R(?)?arcsin RY(0)?R(0)19．设{X(t),???t??}是一平稳过程，S(?)为其谱密度函数，试证：对任意的h>0，Y(t)?X(t?h)?X(t)是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量），并求Y的谱函数。
20．设{X(t),???t??}是均值为0、相关函数为RX(?)的实正太平稳过程，证明X2(t)也是平稳过程，并求其均值及相关函数。
21．设二阶过程{X(t),???t??}的均值函数为E[X(t)]????t，相关函数为
R(s,t)?e??t?s，其中??????0都是常数。证明Y(t)?X(t?1)?X(t)是一
平稳过程，并求其均值及相关函数。