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2020-2021备战中考数学知识点过关培优训练∶直角三角形的边角关系及答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？
【答案】（1）3；（2）【解析】
；（3）t=9s或t=（15﹣6
）s.
试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.
（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值． 试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8
cm，DC=12cm，AD=4
cm.
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm ∴t=s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，
则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1 ∴BM=
cm.∴t=
s.
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=∵AD=AH+DH=∴x=3． 当
≤t≤4时，SMNGN=1cm2．
x+x=
x=4
x， ，
当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2
∴S关于t的函数关系式为：（3）分两种情况：
.
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s
故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形； ②当DC=PC时，DC=PC=12cm ∴NC=6
cm
cm=（15﹣6
）cm
）s
）s时，△CPD为等腰三角形．
）s时，△CPD为等腰三角形．
∴EN=16cm﹣1cm﹣6∴t=（15﹣6故当t=（15﹣6
综上所述，当t=9s或t=（15﹣6
考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
2．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，
1x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作3EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH． （1）求边EF的长；
40），直线AB：y＝
（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）． ①当点F1移动到点B时，求t的值；
②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积．
【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120； 【解析】 【分析】
（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；
（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；
②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，t=4，S=
4x+40，可3NF1MH?4?，=，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，
NF?3EM31451023PK1×(12+)×11==，；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，248F?K3PKt?34＝＝，t=7，S=15×（15-7）=120. KG?15?3t?93PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，【详解】
（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b， 将点E（30，0），点D（0，40）， ∴??30k?b?0，
b?40?4??k??∴?3， ??b?40∴y＝﹣
4x+40， 3直线AB与直线DE的交点P（21，12）， 由题意知F（30，15）， ∴EF＝15；
（2）①易求B（0，5）， ∴BF＝1010，
∴当点F1移动到点B时，t＝1010?10＝10；
②当点H运动到直线DE上时，
F点移动到F'的距离是10t， 在Rt△F'NF中，
NF1=， NF?3∴FN＝t，F'N＝3t， ∵MH'＝FN＝t，
EM＝NG'＝15﹣F'N＝15﹣3t， 在Rt△DMH'中，
MH?4?， EM3t4?， 15?3t3∴t＝4，
∴
∴EM＝3，MH'＝4，
1451023?(12?)?11?； 248当点G运动到直线DE上时，
∴S＝
F点移动到F'的距离是10t， ∵PF＝310， ∴PF'＝10t﹣310， 在Rt△F'PK中，
PK1?， F?K3