发布时间 : 星期二 文章(优辅资源)版高一数学上学期期末考试试题及答案(人教A版 第90套)更新完毕开始阅读
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20.（P83?B6）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量
P(mg/L)与时间t(小时)间的关系为P?P0e?kt．如果在前5个小时消除了10%的污染
物，试求：
（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2?0.7,ln3?1.1,ln5?1.6） 解：（1）由P?P0e?kt可知，当t?0时，P?P0；当t?5时，P?(1?10%)P0．于是有
?1??ln0.9?t1?5k(1?10%)P0?P0e，解得k??ln0.9，那么P?P0e?5?
5所以，当t?10时，P?P0e（7分）
?1??ln0.9??105???P0eln0.81?81%P0
∴10个小时后还剩81%的污染物……………………………………………………
?1??ln0.9?t?5?（2）当P?50%P0时，有50%P0?P0e
1ln0.5ln22?5??ln2?5?解得t???35…………19ln9?ln10ln2?ln5?2ln3ln0.9ln5105ln（13分）
∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时．
21．已知函数f(x)?x2?1?x2?kx．
（1）若对于区间?0,???内的任意x，总有f(x)?0成立，求实数k的取值范围； （2）若函数f(x)在区间?0,2?内有两个不同的零点x1,x2，求：
①实数k的取值范围； ②
11?的取值范围． x1x2解：（1）f(x)?0?x2?1?x2?kx?0?k??x2?1?x2x,x??0,???，
?1?,x??0,1??x?1?x?x??记g(x)??，易知g(x)在上?0,1?递增，在?1,???上
x??2x?1,x??1,????x?22递减，
∴g(x)max?g?1???1，∴k??1即可 …………………………………………（5
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分）
（2）①ⅰ）方程f(x)?0化为kx?1?0，k?0时，无解；0?x?1时，k?0时，x??1； k?k?k2?8ⅱ）1?x?2时，方程f(x)?0化为2x?kx?1?0，x?，而其
42?k?k2?8?k?k??0，故f(x)?0在区间?1,2?内至多有一解中
44?k?k2?8x?；
4综合ⅰ）ⅱ）可知，k?0，且0?x?1时，方程f(x)?0有一解x??1，故k??1；k?k?k2?8?k?k2?8?2，得，令1?1?x?2时，方程f(x)?0也仅有一解x?447，所以实数的取值?k??1k27??k??1； ……………………………………………（10分） 2??k?k2?81②方程f(x)?0的两解分别为x1??，x2?，
4k范围是
114k?k2?8?k?k2?8????k???k??2x2??2,4?……
22x1x22?k?k?8（14分）
四、选做题：本大题10分. 建议有理科倾向的同学选做. ．．．．．．．．．．．．
22. （原创）已知函数f(x)?sinx?x?R?与g(x)?cosx?x?R?．
（1）对于函数F(x)?f(2x)?g(x)，有下列结论：①F(x)是奇函数；②F(x)是周期函数，最小正周期为?；③y?F(x)的图象关于点??,0?对称；④y?F(x)的图象关于直线
x??2对称．其中正确结论的序号是__________；（直接写出所有正确结论的序号） ．．．．．．．．．．．．．
（2）对于函数G(x)?f(x)?g(2x)，求满足G(x)?0的x的取值范围；
（3）设函数F(x)的值域为A，函数G(x)的值域为B，试判断集合A,B之间的关系． 解：（1）①③④；…………………………………………………………………………………（3分）
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（2）G(x)?0???sinx?0?sinx?0或??
?cos2x?0?cos2x?03?5?7????2k??,2k???2k??,2k??…………（6?????；4??444??? x??2k?,2k??分）
???????cosx?1（3）F(x)?sin2x?cosx?sin2x?cosx?1，当且仅当?时取得等号，
??sin2x?1但是当cosx?1时，x?k?(k?Z)，此时sin2x?sink2??，所以F(x)?1，故0F(x)?1，即A????1,1?；
??cos2x?1时取得等号，G(x)?sinx?cos2x?sinx?cos2x?1，当且仅当???sinx?1此时x?k???2(k?Z)，所以G(x)?1，即B???1,1?；
由此可知，A??B．…………………………………………………………………（10
分）
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