发布时间 : 星期四 文章2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科）更新完毕开始阅读
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1??1，an?1?SngSn?1． （1）证明：数列{1}是等差数列； Sn（2）求{an}的通项公式．
【解答】解：（1）因为an?1?Sn?1?Sn，所以Sn?1?Sn?SngSn?1． 两边同除以SngSn?1得因为a1??1，所以因此数列{11???1． Sn?1Sn1??1． S11}是首项为?1，公差为?1的等差数列． Sn11??1?(n?1)(?1)??n，Sn??． Snn12时，an?Sn?1gSn?当n…．
n(n?1)（2）由（1）得于是an?1（首项不符合通项），
n(n?1)(n?1)(n…2)??1?故an??1?n(n?1)?．
18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，
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100剟x150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度
内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为x的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x?[100，110))则取x?105，且x?105的概率等于需求量落入[100，110)的频率，求T的数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x?[100，130)时，T?500x?300(130?x)?800x?39000， 当x?[130，150)时，T?500?130?65000， ?800x?39000,x?[100,130)?T??．
?65000,x?[130,150]x150． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120剟由直方图知需求量X?[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7． （Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，
T 45000 53000 p 0.1 0.2 61000 0.3 65000 0.4 所以ET?45000?0.1?53000?0.2?61000?0.3?65000?0.4?59400．
19．（12分）如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为
AC的中点．
（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
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【解答】（1）证明：连接BO， QAB?BC?22，O是AC的中点，
?BO?AC，且BO?2，
又PA?PC?PB?AC?4，
?PO?AC，PO?23，
则PB2?PO2?BO2， 则PO?OB， QOBIAC?O，
?PO?平面ABC；
（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： A(0，?2，0)，P(0，0，23)，C(0，2，0)，B(2，0，0)，
uuurBC?(?2，2，0)，
uuuuruuur设BM??BC?(?2?，2?，0)，0???1
uuuuruuuuruuur则AM?BM?BA?(?2?，2?，0)?(?2，?2，0)?(2?2?，2??2，0)， r则平面PAC的法向量为m?(1，0，0)， r设平面MPA的法向量为n?(x，y，z)， uuur则PA?(0，?2，?23)，
rrruuuruuuu则ngPA??2y?23z?0，ngAM?(2?2?)x?(2??2)y?0
令z?1，则y??3，x?(??1)3，
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(??1)3r即n?(，?3，1)，
1??Q二面角M?PA?C为30?，
rrmgn3?cos30??|rr?，
|m||n|2(??1)33??1即， ?2??1(g3)2?1?3g11??1解得??或??3（舍)，
3r则平面MPA的法向量n?(23，?3，1)， uuurPC?(0，2，?23)，
uuur?23?23433r|??． PC与平面PAM所成角的正弦值sin??|cos?PC，n?|?|16416g16
20．（12分）已知圆O1:x2?y2?2x?7?0，动圆O2过定点F(?1,0)且与圆O1相切，圆心O2的轨迹为曲线C． （1）求C的方程；
（2）设斜率为1的直线l交C于M，N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若|DM|g|DN|??|DA|g|DB|，求实数?的值．
【解答】解：（1）圆O1的圆心为(1,0)，半径为22，点F在圆O1内，故圆O2与圆O1相内切．
设圆O2的半径为r，则|O2F|?r，|O2O1|?22?r，从而|O2O1|?|O2F|?22．
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