发布时间 : 星期一 文章《光学-光的干涉》（游璞、于国萍）第四章教材习题 - 图文更新完毕开始阅读
三 薄膜干涉
杨氏双缝干涉对于说明光的干涉原理具有明白直观的特点，但在实际应用中比较常见的却是薄膜干涉，薄膜包括肥皂膜、油膜、空气膜、介质膜等各种透明薄膜.薄膜干涉是分振幅法干涉，既可以采用宽度较大的光源—扩展光源，又可获得清晰的条纹，解决了分波前法干涉中所发生的扩展光源引起可见度下降的问题2这类干涉广泛应用于干涉计量技术中，很多重要的干涉仪器，尽管它们的具体装置不同，但基本上都是以薄膜干涉为基础的.
薄膜干涉是使一束入射光在透明薄膜的上下两表面反射和折射(图4-6)，反射光(1,2,3,)或透射光(1',2',3)都是相干光束，它们的振幅都小于入射光的振幅，因此称为分振幅干涉.实际上，对于一般透明介质，反射光束中只有前两束的振幅相近，其余各束振幅都小到可以忽略不计，这时的干涉可按双光束干涉处理。
薄膜干涉通常分为平行平面膜产生的等倾干涉和非平行薄膜产生的等厚干涉两种类型. 3.2 等倾干涉
设有一均匀透明的平行平面介质膜，其折射率为n，厚为h，放在折射率为n0的透明介质中，如图4-8所示.反射光束1和2是相互平行的，它们只有在无穷远处才能相交，也即干涉条纹定域于无穷远.若用一个会聚透镜L就可将原来在无穷远处的干涉图样变换到透镜焦平面上.
设两反射光的光强分别为I1和I2（I1≈I2），两束光叠加后的光强分布则为I?4Icos2??，
1?亮暗纹条件仍和(4.9) 、(4. 10)式一样.
现在计算相邻反射光1,2之间的光程差△.由透镜的等光程性质，从D点经透镜折射到透镜焦点F的光程等于从C点经透镜到焦点F的光程。有图容易看出，光程差△为：△=n(AB+BC)-n02AD?（4.19）
其中 AB=BC=h/cos i2;AD=AC2sin i1=2h tan i22sin i1; n0 sin i1=n2sin i2; 将以上三式代入(4.19)式得到: △=2nh cos i2 ?(4.20)
要注意，这里的上下表面反射性质不同，所以1、2两束光之间还存在π的相移，(4.20)式中还应考虑相应的额外光程差λ/2,即有:
??2nhcosi2??2?(4.21)
式中λ/2取正或取负的差别仅仅在条纹的干涉级相差1级，对条坟的其他特征(形状、间距、可见度等)并无影响.而且在实际应用中，通常都要考虑干涉级数的变化，取正取负并不重要。本书统一规定取正号。
若用入射角i1取代折射角i2，则(4.21)式改写成:??2hn2?n2sin2i???(4.22)
012显然，光程差只随入射角i1而变，只要入射角相同，光程差就相同.干涉条纹是一系列等光程差线，所以平行平面薄膜的同一条干涉条纹是由入射角相同的光形成，因此称为等倾(角)干涉. 由图4-9(a)可见，同一级干涉条纹与光在膜上人射点的位置无关，光源上不同点发出的光只要入射角相同，都聚焦在同一条纹上，因而扩展光源可使干涉图样总的光强增加，这就使得薄膜干涉图样比分波前干涉图样要明亮得多.图4 - 9(b)表示入射角不同的光，被会聚在透镜焦面上不同的地方.等倾干涉条纹的形状与观察的方位有关.当垂直于薄膜表面观察时，也就是说透镜或眼睛的光轴方向与薄膜的法线方向平行时，条纹是一组同心圆环，圆心在通过透镜的薄膜法线上.
由亮条纹条件△=mλ又可知，离中心越远，干涉条纹级次越小.而且靠近中心的条纹较疏，离中心愈远条纹愈密.此外，膜愈厚(h大)条纹也愈密. 3.3 等厚干涉
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现在讨论薄膜两表面有一个很小的夹角θ(楔形膜)的情况.如图4-10所示，当光源上一点发出的光经薄膜上下表面反射以后，成为非平行光，随着楔棱取向不同，这两束光或交于P点(图a)或其反向延长线交于膜下P点(图b），在P点产生干涉.膜很薄，光的入射角又比较小时，可近似认为干涉条纹位膜的表面.此时，膜上表面的A点与C点离得很近，相邻两反射光的总光程差可近似用(4.21)或(4.22)式表示，式中的h将随入射点A的位置而改变.
若光源距薄膜很远，或接收仪器(人眼或透镜)的入射光瞳很小，以致整个视场内光线的入射角可视为不变.也就是说是以平行光或准平行光入射，那么光
程差只是薄膜厚度h的函数，干涉条纹的形状取决于薄膜上厚度相同的点的轨迹，这种干涉称为等厚干涉。 使用扩展光源时，等厚干涉图样定域在薄膜表面附近.观察时，通常把眼睛、显微镜等接收器对薄膜表面调焦. 下面研究两种典型的等厚干涉现象.
1. 楔形薄膜
如图4-11所示，楔形薄膜两表面的夹角θ称为顶角，单色平行光正入射到薄膜上(i2≈0).干涉条纹是一组与楔棱平行的直条纹。
现在计算条纹的间距△L，当△=mλ时形成亮纹，设hm和hm+1分别为第m和m+1级亮级对应的膜厚，则
?m?1?2nhm?1??2?(m?1)?;?m?2nhm??2?m?;?h?hm?1?hm??2n;?L??h????（4.23）
2n?因为θ角是恒值，所以条纹是等间距的.θ角愈大，条纹愈密.由于光波长很小，若从实验上测出△L，则可利用(4.23)式确定很微小的角度θ
2. 牛倾环.
如果薄膜是由一个平面和一个球面(或两个球面)组成，干涉条纹是一组同心圆环，称为牛顿环.观察牛顿环的装置如图4-12所示，一个曲率半径很大的凸透镜放在一块平面玻璃板上，二者之间形成一厚度不均匀的空气层.
设接触点为O，以单色平行光垂直人射.显然等厚线是以O为中心的同心圆环.由于有附加的光程度对λ/2，中心点为暗点.仍可利用(4.23)式分析条纹的间距，这里θ角从中央往外逐渐变大，条纹也随之逐渐变密.
例4 .1 试证明牛顿环第m级暗纹的半径为rm?m?R。
证明:如图4-12所示，设第m级暗环的半径为rm,hm.为第m级暗环所在处空气层的厚度,R为透镜曲率半径，
2显然有rm?R2?(R?hm)2?hm(2R?hm),
2因为实际装置中2R?hm，所以近似有rm?2Rhm?(1)
又因为第m级暗环满足以下条件??2h???(2m?1)?，即：2hm?m??（2）
mm22将(2)式代人(1)式得到：rm?3.4 透射光的干涉条纹
m?R 在图4-6中，从薄膜下表面透射出来的光也能产生干涉条纹.如果薄膜上下两侧处于同种介质中时，1’和2‘两束光之间没有附加的光程差，其总光程差为△=2nh cos i2 ?（4.24）
所以反射光的干涉图样和透射光的干涉图样是互补的.例如在等倾干涉情况，对于同一入射角的光，若在反射时产生干涉极大(亮条纹)，在透射时则产生干涉极小(暗条纹).反射光的干涉光强与透射光的干涉光强是互补的，它们的和应等于人射光强(不考虑介质的吸收、散射等能量损失).等厚干涉的情况亦相同。由于1‘和2'两柬光的振幅相差很大，所以透射光干涉图样的可见度很低。 四 迈克耳孙( Michelson)干涉仪
迈克耳孙干涉仪的光路如图4-14所示，G1和G2是两块折射率和厚度都相同的平行平面玻璃板，G1是分束板，G2是补偿板，它们互相平行. G1的后表面镀有半透膜(反射光与透射光各为50%) . M1
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和M2是两块反射率很高的平面反射镜，与G1约成45°角.从光源发出的一束光，经G1后分为反射光束1与透射光束2。光束1经M1反射后透过G1成为1’’光;光束2经M2反射后被G1反射成2\光.由几何光学可知，M2经过G1所成的像位于M’2，因此光束2\好像是从M’2反射来的一样.干涉仪的干涉相当于由M1和M’2构成的空气薄膜产生的。
补偿板G2是补偿光程的.当无G2时，1光比2光多经过G1两次.加入G2后，两束光在玻璃板中的光程就相同了.这种补偿在单色光照明时并非必需，因为光束1在经过玻璃板时所增加的光程可以用增加2光在空气中的行程补偿.但用白光作光源时，因为玻璃有色散，对于不同的波长增加的光程不同，这是无法用空气中的行程来补偿的.因而在观察白光条纹时，补偿板G2不可缺少.
M1和M2镜的背面有螺钉，用来调节它们的方位.如果使M1和M’2精确平行，观察到的是一组等倾圆环条纹.M2的位置是固定的，M1可以前后移动，空气膜的厚度也随之改变.当M1移向M’2时，空气膜厚度逐渐减小，条纹向中心收缩，并在中心一一消失.M1平移λ/2的距离，在中心消失一个条纹.当M1与M’2完全重合时，视场一片均匀照亮.如继续移动M1，使M1逐渐离开M’2，则条纹不断由中心冒出，如果视场中心消失(或冒出)的圆环条纹数目为N，显然它与M1镜移动的距离△h之间有下述关系: ?h?N??(4.25)
2若已知波长，记录下N，便可算出△h，这就是激光干涉测长仪的原理.若已知标准长度△h，记录条纹变动数目N，便可算出波长，这就是干涉仪测量波长的原理.
当M1和M’2形成一很薄的楔形空气膜，而且观察面积很小时，可以看到等厚条纹。 五、 法布里一拍罗(Fabry一perot)干涉仪
双光束干涉条纹的光强分布是cos2(δ/2)的函数，光强随相位差变化缓慢，干涉亮纹较宽，影响了测量精度.而利用多光束干涉，则能得到光强急剧变化，亮条纹细锐且明亮、暗纹较宽的干涉条纹。法布里-珀罗干涉仪(简称F-P干涉仪)就是基于分振幅法的多光束干涉仪.（结构如图4-5所示）.G1和G2是两块具有很小楔角（一般约5～30）的平板玻璃，相对两面互相平行，并镀有高反射率（90％以上）的反射膜。入射光在G1、G2两相对面上多次反射和折射后产生多束相干透射光，并在透镜L2的后焦面上形成等倾圆环条纹，与迈克尔孙干涉仪的等倾圆环条纹相似，但亮纹要细锐明亮得多。如果G1、G2两板间的距离用间隔板固定，称为法布里-珀罗标准具。如果G1、G2两板间的距离h可以调节，则称为法布里-珀罗干涉仪。 F-P干涉仪的基本原理是空气平行薄膜的透射光的多光束干涉.由于多次反射，振幅递减，所以是非等幅的多光束干涉.
设单色光束从玻璃板进入空气薄膜的振幅反射比为r，透射比为t;反过来从空气胜进入玻璃板的振幅反射比为r’，透射比为t’.设入射光的振幅为A，现将从薄膜透射出来的各光束的振幅标明在图4-16上。
依据(3.3)式，因反射引起的相位跃变将由r与r’反映，所以相邻两透射光束之间的相位差为:
?=2???=2??2hcosi2?（4.26）
取第一束透射光的初相位为0，各透射光束的复振幅依次为：
??tt'Aei0;E??tt'r'2Aei?;E??tt'r'4Ae2i?;E??tt'r'6Ae3i?;?? E1234?为： 所有透射光束叠加后的合成复振幅ET???E??tt'(1?r'2ei??r'4e2i???)A?ETNN?1?tt'1?r2A?A 2i?2i?1?r'e1?re其中利用了级数关系式：1?x?x2???1
1?x和斯托克斯公式(3.3)和(3.4)。又因反射率R=r2，令入射光强I0=A2，可求出透射光强分布公式:
?E??IT?ETT?(1?r2)2A2，即24IT?1?2rcos??r(1?R)2?（4.27）
?2I02（1?R）+4Rsin2现引入一个新的量F，称为锐度系数：F=4R?（4.28）
2（1-R）于是.(4.27)式可以改写成：
IT?I01+Fsin2?（4.29）
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图4-17画出(4.27)式所描述的IT和δ的关系.给定不同的R值，得到不同的曲线.可以看出，干涉光强极大值的位置由δ决定与R无关;干涉条纹的细锐程度由R决定，随着R的增大，亮纹宽度变窄，条纹变锐.当R很大时，透射光的干涉条纹是在几乎全黑的宽背景上呈现很细的亮纹.由于反射光强与透射光强互补，所以反射光的干涉条纹是在宽的亮背景上呈现很细的暗纹，不易辨认，故很少应用。
如果入射光含有不同波长成分，不同波长的光形成各自的圆环条纹(干涉分光).由于条纹细锐，故长差极小的光形成的条纹也能分辨出来，所以F-P干涉仪是高分辨率的光谱仪器。常用来研究光谱的精细结构与超精细结构. 七、光学薄膜
7.1 单层增透膜和增反膜
在一块透明均匀的基底(比如折射率为ng的玻璃)表面土涂敷一层透明的介质薄膜(折射率为n)，就形成了单层膜，膜层与基底组成的系统称做膜系.在单层膜系中有两个界面:入射光所在介质(折射率为n0)和膜层的界面;膜层和基底的界面.光波在两界面上依次反射和透射(图4-20)产生多光束干涉.干涉的结果决定了薄膜的光学性质.
计算单层膜反射率的方法与F-P干涉仪的反射率计算基本相同，只是现在上下两界面的反射、折射振幅比不再相等而已，所以下面略去推导过程.各反射光束的振幅标明在图4-20上.相邻两反射光束之间的相位差为?=2??=4?nhcosi；
2???为：?r1?r2ei?叠加后的反射光复振幅E RER?Ai?1?r1r2e22???单层膜系的反射率R为：R?ERER?r1?2r1r2cos??r2?（4.34）
222A1?2r1r2cos??r1r2下面我们只讨论近似正入射情况，即i1≈i2≈0，因此两相邻反射光的相位差为:
??4??nh
根据(3.9)式可知:
r1?n?ng n0?n,r2?n0?nn?ng当n0和ng以及λ一定时，选定了膜的材料n，反射率R只是膜层光学厚度nh的函数.
由(4.34)式可求得R取极值的条件为δ=nπ,m=0,1,2,??δ为π的整数倍，也就是nh为λ/4的整数倍时，R取极值.
图4-21是取n0=l,ng=1.5, i1=0的情况下作出的R与nh的关系曲线.从图4-21的曲线不难得出如下结论:
(1) 要镀单层增反射膜，就要用高折射率材料(n>ng)，而且膜层光学厚度nh=(2m+1)
λ/4,m=0,1,2,?,n比ng越大，增反射效果愈好.例如，在折射率ng=1.50的玻璃基板上镀ZnS(n=2.34)的λ/4膜层时.由(4. 34)式可算出反射率R≈33％.
(2) 要镀单层增透射膜，就要用低折射率材料(n 果就愈好. 因为只有当n0ng-n2=0时，才有R=0，即n?n0ng?(4.35) 那么，对于ng-1.50～1.60的光学玻璃，则要求n=1.22～1.27，这样的材料太难找了，所以常用n=1.38的MgF2.当ng=1.50时，镀MgF2后，R由原来的4%降到1.3%. (3) 单层膜的光学厚度nh=λ/2时，不论n>ng还是n 7.2多层介质高反射膜 单层增反射膜能提高反射率，若要进一步提高，则需增加介质膜的层数.多层介质膜具有反射率高、吸收小的特点。 常用的高反射膜系是这样构成的.选取两种折射率相差尽可能大的材料，交替涂敷到基板上，每层膜的光学厚度都是1/4波长.并且与空气（A）和基板（G）接触的都是高折射率的H膜，即H膜比低折射率的L成多一层膜的层数为奇数，如图4-22所示，这种λ/4膜通常用下列符号表示：GHLH?LHA=G(HL)HA,N=1,2,3,??(4.36) （2N+1）为膜的总层数。层数愈多，膜系的反射率R就愈高。例如，氦氖激光器谐振腔的全 - 8 - N